алгебраическая группа, являющаяся полным алгебраическим многообразием. Условие полноты накладывает сильные ограничения на А. м. Так, А. м. можно вложить в качестве замкнутого подмногообразия в проективное пространство, каждое рациональное отображение неособого многообразия в А. м. регулярно, групповой закон на А. м. всегда коммутативен.

Теория А. м. над полем комплексных чисел С эквивалентна, по существу, теории абелевых функций, основы к-рой были заложены в работах К. Якоби (С. Jacobi), H. Абеля (N. Abel) и Б. Римана (В. Riemann). Если есть re-мерное векторное пространство, - решетка (см. Дискретная подгруппа).ранга 2n, то факторгруппа будет комплексным тором. Мероморфные функции на Xотождествляются с меро-морфными функциями на инвариантными относительно решетки периодов Г. Если степень трансцендентности поля Кмероморфных функций на Xравна п, то Xможно наделить структурой алгебраич. группы, единственной в силу компактности Xи такой, что поле рациональных функций этой структуры совпадает с К. Получающиеся таким образом алгебраич. группы являются А. м. и всякое А. м. над полем С имеет такой вид. Матрицу, задающую базис решетки Г, можно привести к виду где Е - единичная матрица, а Z - матрица порядка Комплексный тор Х= есть А. м. в том и только том случае, когда матрица Zсимметрична и ее мнимая часть положительно определена. Необходимо отметить, что как вещественные группы Ли все многообразия Xизоморфны, но это неверно для их аналитич. или алгебраич. структур, к-рые сильно меняются при деформации решетки Г. Рассмотрение матрицы периодов Zпоказывает, что это изменение носит аналитич. характер и это приводит к конструкции многообразия модулей всех абелевых многообразий данной размерности п. Его размерность равна (см. Модулей проблема).

Теория А. м. над произвольным полем kпринадлежит А. Вейлю (см. [1], [2]). Она имеет большое количество приложений как в самой алгебраич. геометрии, так и в других областях математики, особенно в теории чисел и теории автоморфных функций. Каждому полному алгебраич. многообразию можно сопоставить функ-ториальным образом А. м. (см. Алъбанезе многообразие, Пикара многообразие, Промежуточный якобиан). Эти конструкции представляют собой мощный метод изучения геометрич. структуры алгебраич. многообразий. Так, с их помощью было получено одно из решений Лю-рота проблемы. Другим приложением является доказательство гипотезы Римана для алгебраич. кривых над конечным полем. Именно для решения этой проблемы и была создана абстрактная теория А. м. Она послужила также одним из источников теории l-адических когомологий. Простейшим примером таких когомологий служит Тейта модуль А. м. Он является проективным пределом групп Х _lп точек l_n -то порядка при nЮбесконечности. Определение структуры последних было одним из главных достижений теории А. Вейля. Именно, если m взаимно просто с характеристикой рполя kи kалгебраически замкнуто, то группа изоморфна Ситуация в случае т=р гораздо сложнее и она привела к появлению таких понятий, как конечные групповые схемы, формальные группы и р-делимые группы. Изучение действия эндоморфизмов А. м., в частности Фробениуса эндоморфизма на его модуль Тейта, дает возможность доказать гипотезу Римана, а также является основным инструментом в теории комплексного умножения А. м. Другой круг вопросов, связанный с модулем Тейта, состоит в исследовании действия на нем группы Галуа замыкания основного поля. Отсюда возникли гипотезы Тейта и теория Тейта- Хонды, дающая для А. м. над конечными полями их описание в терминах модуля Тейта [5].

Интенсивно развивается изучение А. м. над локальными, в том числе р-адическими полями. Аналог упомянутого выше представления А. м. в виде факторпространства (которое обычно наз. униформизацией) был построен над такими полями Д. Мамфордом (D. Mumford) и М. Рейно (М. Raynaud). В отличие от комплексного случая униформизуются не все А. м., а только имеющие редукцией по mod pмультипликативную группу [6]. Теория А. м. над глобальными (числовыми и функциональными) полями играет важную роль в диофантовой геометрии. Основной результат здесь - теорема Морделла- Вейля: группа рациональных точек А. м., определенного над конечным расширением поля рациональных чисел, конечно порождена.