Раздел «Естествознание, Математика»

• Математический словарь
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Однолистная Функция

  - функция f, регулярная или мероморфная в области Врасширенной комплексной плоскости п такая, что для всяких z_l , выполняется соотношение то есть f отображает В в взаимно однозначно. При этом обратная функция также однолистна.

  Обобщением О. ф. являются многолистные функции, в частности р-листные функции.

  При изучении О. ф. одним из основных является вопрос о возможности однолистного отображения заданной области В на заданную область В' (т. е. отображения с помощью О. ф.). Необходимым условием существования такого отображения является равенство порядков связности областей Ви В' (см., напр., [1] с. 28). Если Ви В' - односвязные области, границы к-рых содержат более одной точки, т

  …
  Далее

  - функция f, регулярная или мероморфная в области Врасширенной комплексной плоскости п такая, что для всяких z_l , выполняется соотношение то есть f отображает В в взаимно однозначно. При этом обратная функция также однолистна.

  Обобщением О. ф. являются многолистные функции, в частности р-листные функции.

  При изучении О. ф. одним из основных является вопрос о возможности однолистного отображения заданной области В на заданную область В' (т. е. отображения с помощью О. ф.). Необходимым условием существования такого отображения является равенство порядков связности областей Ви В' (см., напр., [1] с. 28). Если Ви В' - односвязные области, границы к-рых содержат более одной точки, то это условие является и достаточным (см. Римана теорема )и задача сводится к отображению заданной области на круг. В связи с этим особую роль в теории О. ф. в односвязных областях играет класс S функций f, регулярных и однолистных в круге , нормированных условиями f(0) = 0, f' (0)=1 и имеющих разложение

  

  В случае многосвязных областей изучают отображение заданной многосвязной области на т. н. канонич. области (см. Конформное отображение). Пусть - класс функций F, мероморфных и однолистных в области В, содержащей точку , и имеющих в окрестности точки разложение

  

  Если

  то этот класс обозначают .

  Основные задачи теории О. ф. следующие: 1) изучение соответствия границ при конформном отображении (см. Соответствия границ принцип, Граничные элементы. Достижимая граничная точка);2) получение однолистности условий;3) решение различных экстремальных задач теории функций, в частности получение оценок различных функционалов и областей значений функционалов (см. ниже) и их систем в том или другом классе.

  Пусть имеется нек-рый класс (множество) Крегулярных или мероморфных функций и пусть на Кзадан комплексный функционал (или система функционалов . Областью значений функционала (или системы функционалов на классе Кназ. множество Dточек комплексного пространства (соответственно множество точек n-мерного комплексного пространства ) таких, что . Рассматриваются также действительные функционалы. Всякое множество , содержащее D, наз. мажорантной областью функционала (или системы функционалов). Знание области значений функционала позволяет свести решение ряда экстремальных задач к более простым задачам анализа. Напр., если известна область Dзначений функционала

  (z₀ фиксировано), то задача оценки сверху и снизу сводится к нахождению самой далекой и самой близкой точек из Dпо отношению к точке w=0.

  Первые существенные результаты в теории О. ф. получены использованием площадей принципа. С помощью внешней теоремы площадей Л. Бибербах (L. Bieberbach, 1916) получил точные оценки и сверху и снизу для (см. Искажения теоремы), дал оценку для и высказал гипотезу, что дл

  …
  Перейти к полному виду статьи Свернуть