Раздел «Естествознание, Математика»

• Математический словарь
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Алгебраическая Кривая

  алгебраическое многообразие размерности 1. А. к. является наиболее изученным объектом алгебраической геометрии. В дальнейшем под А. к. понимается, как правило, неприводимая А. к. над алгебраически замкнутым полем.

  Наиболее простым и интуитивно ясным является понятие плоской аффинной А. к. Это - множество точек аффинной плоскости удовлетворяющих уравнению - многочлен с коэффициентами из алгебраически замкнутого поля k. Поле рациональных функций неприводимой А. к. над kесть поле алгебраич. функций одного переменного и имеет вид где хи усвязаны уравнением а - многочлен над k. Это означает, что всякая А. к. бирационально изоморфна плоской аффинной кривой.

  Уже давно было замечено, что да

  …
  Далее

  алгебраическое многообразие размерности 1. А. к. является наиболее изученным объектом алгебраической геометрии. В дальнейшем под А. к. понимается, как правило, неприводимая А. к. над алгебраически замкнутым полем.

  Наиболее простым и интуитивно ясным является понятие плоской аффинной А. к. Это - множество точек аффинной плоскости удовлетворяющих уравнению - многочлен с коэффициентами из алгебраически замкнутого поля k. Поле рациональных функций неприводимой А. к. над kесть поле алгебраич. функций одного переменного и имеет вид где хи усвязаны уравнением а - многочлен над k. Это означает, что всякая А. к. бирационально изоморфна плоской аффинной кривой.

  Уже давно было замечено, что даже при изучении аффинных кривых глубокие закономерности удается вскрыть только при учете бесконечно удаленных точек и детальном исследовании особенностей. Для изучения всех точек аффинной кривой ее погружают в проективное пространство с последующим замыканием в Зариского топологии. Таким образом получается проективная кривая X, причем исходная аффинная кривая У может быть получена из Xвыбрасыванием конечного числа точек. Если Yнеприводима, то Xи Y бирационально изоморфны. Каждая полная А. к. является проективной. Если X - гладкая проективная кривая (г. п. к.), то все кольца нормирования поля исчерпываются локальными кольцами Если две г. п. к. бирационально эквивалентны, то они изоморфны. Нормальная А. к. является гладкой. В частности, всякая неприводимая А. к. бирационально эквивалентна г. п. к. Получаемая в процессе нормализации гладкая проективная модель А. к. лежит в нек-ром пространстве Любая г. п. к. изоморфна кривой, расположенной в Каждая плоская А. к. кремоновым преобразованием может быть преобразована в кривую с обыкновенными особыми точками.

  Дивизоры, на гладкой А. к. представляют собой линейные комбинации точек с целыми коэффициентами

  

  почти для всех х. Если все то дивизор Dназ. положительным, или эффективным, что обозначается Степенью дивизора D наз. число

  

  Главные дивизоры образуют подгруппу Р(X).группы Div Xвсех дивизоров на X. Факторгруппа наз. группой классов дивизоров и обозначается через Сl(Х). Группа Сl(Х) изоморфна группе Pic (X).классов одномерных векторных расслоений на X(см. Векторное алгебраическое расслоение). Степень главных дивизоров на г. п. к. равна нулю, поэтому все дивизоры из одного класса имеют одну и ту же степень. В частности, можно говорить о степени класса дивизоров и о подгруппе классов дивизоров степени 0. Справедливо следующее равенство:

  

  Для прямой т. е. любой дивизор степени 0 является главным. Это свойство характерно для рациональных г. п. к.

  Для любой полной А. к. Xчисло наз. арифметическимродом А. к. X. Если X - гладкая, то я совпадает с размерностью пространства всех регулярных диффе

  …
  Перейти к полному виду статьи Свернуть