Раздел «Естествознание, Математика»

• Словарь естествознания
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Аналитическая Функция

  функция, к-рая может быть представлена в нек-рой области степенным рядом. Большинство функций, встречающихся в математике и её приложениях,- А. ф. Теория А. ф.- важнейшая часть теории функций комплексного переменного.

• Математический словарь
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Аналитическая Функция

  функция, к-рая может быть представлена степенным рядом. Исключит, важность класса А. ф. определяется следующим. Во-первых, этот класс достаточно ш и р о к: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и ее приложений к естествознанию и технике. Во-вторых, класс А. ф. з амкнут относительно основных операций арифметики, алгебры и анализа. Наконец, А. ф. обладают важным свойством единственности: каждая А. ф. образует одно "органически связанное целое", представляет собой "единую" функцию во всей своей естественной области существования. Это свойство, к-рое в 18 в. считалось неотделимым от самого понятия функции, приобрело принципиальное значение после установ

  …
  Далее

  функция, к-рая может быть представлена степенным рядом. Исключит, важность класса А. ф. определяется следующим. Во-первых, этот класс достаточно ш и р о к: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и ее приложений к естествознанию и технике. Во-вторых, класс А. ф. з амкнут относительно основных операций арифметики, алгебры и анализа. Наконец, А. ф. обладают важным свойством единственности: каждая А. ф. образует одно "органически связанное целое", представляет собой "единую" функцию во всей своей естественной области существования. Это свойство, к-рое в 18 в. считалось неотделимым от самого понятия функции, приобрело принципиальное значение после установления - в 1-й пол. 19 в.- общей точки зрения на функцию как на произвольное соответствие. Теория А. ф. была создана в 19 в. в первую очередь благодаря работам О. Коши (A. Cauchy), Б. Римана (В. Riemann) и К. Вейерштрасса (К. Weierstrass). Решающее значение в построении этой теории сыграл "выход в комплексную область". Теория А. ф. возникла как теория функций комплексного переменного; и в настоящее время (70-е гг. 20 в.) теория А. ф. составляет основное содержание общей теории функций комплексного переменного.

  Существуют различные подходы к понятию аналитичности. В основе одного из них, впервые развитого О. Коши и далеко продвинутого Б. Риманом, лежит структурное свойство функции - существование производной по комплексному неременному, или комплексная дифференцируемость. Этот подход тесно связан с геометрическими представлениями. Другой подход, систематич. развивавшийся К. Вейерштрассом, основывается на возможности представления функций степенными рядами; он связан, тем самым, с аналитическим аппаратом, к-рым может быть изображена функция. Основной факт теории А. ф. заключается в тождественности соответствующих классов функций, рассматриваемых в произвольной области комплексной плоскости.

  Перейдем к точным определениям. Пусть - область в комплексной плоскости . Если каждой точке поставлено в соответствие нек-рое комплексное число , то говорят, что в области определена (однозначная) функция f комплексного переменного , и пишут: Функция может рассматриваться как комплексная функция двух действительных переменных хи у, определенная в области ( - евклидова плоскость). Задание такой функции равносильно заданию двух действительных функций

  

  Зафиксировав точку , придадим приращение (так, что ) и рассмотрим соответствующее приращение функции :

  

  Если

  

  при или, что то же, если существует

  

  то функция наз. дифференцируемой (в смысле комплексного анализа, или в смысле ) в точке ; - производная функция в точке , а - ее дифференциал в этой точке. Функция , дифференцируемая в каждой точке области D, наз. дифференцируемой в области D.

  Сравним понят

  …
  Перейти к полному виду статьи Свернуть