Раздел «Естествознание, Математика»

• Словарь естествознания
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Вариационное Исчисление

  раздел мате матики, посв. нахождению наиб. и наим. значений перем. величин, зависящих от выбора одной или неск. функций (такие величины наз. функционалами). К числу задач В. и. относятся, напр., изопериметрич. задачи.

• Математический словарь
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Вариационное Исчисление

  численные методы - раздел вычислительной математики, посвященный методам отыскания экстремальных значений функционалов.

  Численные методы В. и. принято разделять на два больших класса: непрямые и прямые методы. Непрямые методы основаны на использовании необходимых условий оптимальности (см. Вариационное исчисление, Эйлера уравнение, Вейерштрасса условия, Трансверсальности условие, Понтрягина принцип максимума), с помощью к-рых исходная вариационная задача сводится к краевой задаче. Поэтому вычислительные достоинства и недостатки непрямых методов полностью определяются свойствами соответствующей краевой задачи. Прямые методы ориентированы на непосредственное отыскание экстремума функционал

  …
  Далее

  численные методы - раздел вычислительной математики, посвященный методам отыскания экстремальных значений функционалов.

  Численные методы В. и. принято разделять на два больших класса: непрямые и прямые методы. Непрямые методы основаны на использовании необходимых условий оптимальности (см. Вариационное исчисление, Эйлера уравнение, Вейерштрасса условия, Трансверсальности условие, Понтрягина принцип максимума), с помощью к-рых исходная вариационная задача сводится к краевой задаче. Поэтому вычислительные достоинства и недостатки непрямых методов полностью определяются свойствами соответствующей краевой задачи. Прямые методы ориентированы на непосредственное отыскание экстремума функционала. Используемые при этом методы оптимизации являются развитием идей математнч. программирования.

  Разделение численных методов В. и. на прямые и непрямые весьма условно. Нек-рые алгоритмы используют элементы обоих подходов. Кроме того, существуют методы, к-рые непосредственно не относятся к двум выделенным классам. Например, методы, основанные на достаточных условиях оптимальности, образуют самостоятельную группу.

  Первые численные методы В. и. появились в работах Л. Эйлера (L. Euler). Однако наибольшее развитие они получили с 50-х гг. 20 в. в результате распространения вычислительной техники и открывшейся в связи с этим возможностью решения сложных технич. задач. При этом разработка численных методов В. и. шла в основном применительно к задачам теории оптимального управления - наиболее важного для практич. приложений раздела В. и. (см. Оптимального управления математическая теория).

  Непрямые методы. С появлением принципа максимума Понтрягина (1956) сведение вариационных задач к краевым стало особенно популярным.

  Пусть в задаче оптимального управления требуется найти траекторию и управление , доставляющие минимум функционалу

  

  при дифференциальных связях:

  

  граничных условиях:

  

  и ограничениях на управление:

  

  где - векторы фазовых координат и управлений, , - замкнутое множество m-мерного пространства, t - независимое переменное (время).

  Согласно принципу максимума Понтрягина, оптимальное управление должно при каждом tдоставлять абсолютный максимум Гамильтона функции

  

  где определяется системой уравнений

  

  Из условия (6) находится управление и подставляется в (2) и (7). В результате получается замкнутая краевая задача для системы 2n дифференциальных уравнений (2) и (7) с 2n граничными условиями (3) и (4).

  Наиболее распространенной схемой численного решения этой краевой задачи является схема, использующая метод Ньютона с дроблением шага (см. [3]). При этом вводится вектор невязки

  

  где значение получается из решения задачи Коши для системы (2), (7) с начальными условиями (3) и Невязки (8) рассматриваются как функции от не

  …
  Перейти к полному виду статьи Свернуть