Раздел «Естествознание, Математика»

• Словарь естествознания
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Галуа Теория

  созданная Э. Галуа теория алгебр, у р-ний высш. степеней с одним неизвестным; устанавливает условия сводимости решения таких ур-ний к решению цепи др. более простых алгебр. ур-ний (обычно низш. степеней). Опубликована в 1846.

• Математический словарь
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Галуа Теория

  - в наиболее общем смысле теория, изучающая те или иные математич. объекты на основе их групп автоморфизмов. Так, напр., возможны Г. т. полей, колец, топологич. пространств и т. п. В более узком смысле под Г. т. понимается Г. т. полей. Возникла эта теория из задачи решения в радикалах алгебраич. уравнений высших степеней. Общеизвестная формула для решения квадратного уравнения была установлена в глубокой древности. Методы решения уравнении 3-й ( Кардана формула).и 4-й степеней (см. Феррари метод).найдены в 16 в. В течение трех последующих столетий велись безуспешные поиски формул для решения уравнений 5-й степени и выше. Наконец, в 1824 Н. Абель (N. Abel) доказал, что общее алгебраич. уравн

  …
  Далее

  - в наиболее общем смысле теория, изучающая те или иные математич. объекты на основе их групп автоморфизмов. Так, напр., возможны Г. т. полей, колец, топологич. пространств и т. п. В более узком смысле под Г. т. понимается Г. т. полей. Возникла эта теория из задачи решения в радикалах алгебраич. уравнений высших степеней. Общеизвестная формула для решения квадратного уравнения была установлена в глубокой древности. Методы решения уравнении 3-й ( Кардана формула).и 4-й степеней (см. Феррари метод).найдены в 16 в. В течение трех последующих столетий велись безуспешные поиски формул для решения уравнений 5-й степени и выше. Наконец, в 1824 Н. Абель (N. Abel) доказал, что общее алгебраич. уравнение степени в радикалах не решается. После этого встал вопрос о необходимых и достаточных условиях, к-рым должны удовлетворять коэффициенты уравнения, чтобы оно решалось в радикалах, т. е. могло быть сведено к цепи двучленных уравнений вида Ответ на этот вопрос был найден Э. Галуа (Е. Galois); свои результаты он изложил в предсмертном письме (1832), опубликованном в 1846. В современном изложении Г. т. выглядит следующим образом.

  Пусть k - произвольное поле. Расширением поля kназ. любое поле К, содержащее kв качестве подполя. Каждое расширение можно рассматривать как линейное пространство над полем k;если это пространство имеет конечную размерность п, то расширение наз. конечным, а размерность п - степенью расширения. Элемент нек-рого расширения поля kназ. алгебраическим над k, если он является корнем уравнения f= 0, где f- многочлен с коэффициентами из k(этот многочлен можно считать неприводимым). Наименьшее расширение поля k, содержащее алгебраический над kэлемент , обозначается обычно . Конечное расширение Кполя kназ. сепарабельным, если причем многочлен f, корнем к-рого является , не имеет кратных корней. В случае, когда поле kимеет характеристику 0 (напр., если k - числовое поле), любое конечное расширение сепарабельно (теорема о примитивном элементе). Полем разложения неприводимого многочлена f наз. наименьшее расширение поля k, содержащее все корни этого многочлена. Степень такого расширения делится на степень многочлена f и равна этой степени, если все корни многочлена f выражаются через один из корней. Расширение Кназ. нормальным, если оно является полем разложения нек-рого многочлена, и расширением Галуа, если оно нормально и сепарабельно. Группа всех автоморфизмов расширения Галуа К, оставляющих на месте все элементы поля k, наз. группой Галуа этого расширения и обозначается Ее порядок (число элементов) равен степени расширения Кнад k. Каждой подгруппе H группы соответствует подполе Рполя К, состоящее

  из всех элементов К, не меняющихся под воздействием автоморфизмов из Н. Обратно, каждому подполю (содержащему поле k).соответствует по

  …
  Перейти к полному виду статьи Свернуть