Раздел «Естествознание, Математика»

• Математический словарь
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Зависящий От Параметров Интеграл

  - интеграл вида

  

  в к-ром точка х=(x₁, х ₂, ..., х _п )пробегает пространство Rⁿ (в случае, если эта точка пробегает только нек-рую область Dв пространстве Rⁿ, то функцию f(x, у )можно считать равной нулю при а точка у=(y₁, у ₂, ..., у _т), образующая совокупность параметров у ₁, у ₂, ..., у _т, изменяется в пределах нек-рой области Gпространства R^m.

  Основные вопросы теории таких интегралов - это выяснение условий непрерывности и дифференцируемости функции J(y)по параметрам у ₁, у ₂, ..., у _m.Менее стеснительные условия непрерывности и дифференцируемости J(у)получают при понимании интеграла в смысле Лебега. Справедливы следующие утверждения.

  1) Если функция f(x, у )для почти всех

  …
  Далее

  - интеграл вида

  

  в к-ром точка х=(x₁, х ₂, ..., х _п )пробегает пространство Rⁿ (в случае, если эта точка пробегает только нек-рую область Dв пространстве Rⁿ, то функцию f(x, у )можно считать равной нулю при а точка у=(y₁, у ₂, ..., у _т), образующая совокупность параметров у ₁, у ₂, ..., у _т, изменяется в пределах нек-рой области Gпространства R^m.

  Основные вопросы теории таких интегралов - это выяснение условий непрерывности и дифференцируемости функции J(y)по параметрам у ₁, у ₂, ..., у _m.Менее стеснительные условия непрерывности и дифференцируемости J(у)получают при понимании интеграла в смысле Лебега. Справедливы следующие утверждения.

  1) Если функция f(x, у )для почти всех непрерывна по ув области и если существует интегрируемая в Rⁿ функция g(x)такая, что для каждого и для почти всех справедливо неравенство то интеграл J(y)является непрерывной функцией ув области G.

  2) Если функция f(x, t), определенная при для почти всех и каждого имеет производную к-рая для почти каждого является непрерывной функцией tна интервале (а, 6), и если существует интегрируемая в Rⁿ функция g(x)такая, что для каждого и для почти всех справедливо неравенство то из существования при нек-ром интеграла

  

  следует дифференцйруемость по tна интервале ( а, b )функции

  

  и возможность вычисления производной J'(t)дифференцированием под знаком интеграла:

  

  Из 1)- 2) получают ряд более простых утверждений о непрерывности и дифференцируемости интегралов по параметрам, относящихся к трактовке интеграла в смысле Римана и более частным случаям (см. [2] - [4]).

  Несобственные интегралы, зависящие от параметров. Для простейшего несобственного интеграла 1-го рода

  

  вводят понятие равномерной сходимости по параметру tна нек-ром сегменте Этот интеграл наз. равномерно сходящимся по tна сегменте [ с, d], если для любого e>0 найдется A(e)>0 такое, что

  

  для всех

  Справедливы следующие утверждения:

  а)Если функция f(x, t )непрерывна в полуполосе и интеграл (*) сходится равномерно по tна сегменте [ с, d], то функция J(t)непрерывна на сегменте

  б) Если f(x, t )и производная непрерывны в полуполосе интеграл (1) сходится для нек-рого а интеграл

  

  сходится равномерно относительно t на сегменте [ с, d], то функция J(t)дифференцируема на сегменте [ с, d]и ее производная может быть найдена по формуле

  

  Аналогичные утверждения справедливы и для несобственного интеграла 2-го рода.

  Лит.:[1] Владимиров В. С, Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; [2] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 2, М., 1973; [3] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 2, М., 1970; [4] Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 2, М., 1973; [5] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972.

  В. А. Ильин.

  
  Свернуть