Раздел «Естествознание, Математика»

• Математический словарь
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Ландау Теоремы

  - теоремы для регулярных в круге функций, устанавливающие нек-рые связи между геометрич. свойствами производимого этими функциями конформного отображения и начальными коэффициентами представляющих их степенных рядов.

  В 1904 Э. Ландау показал [1], что если функция f(z) регулярна в круге |z|<R и не принимает в нем значений 0 и 1, то Д ограничено сверху положительной постоянной, зависящей только от В 1905 К. Каратеодори (С. Caratheodory) установил, что роль экстремальной функции в этой теореме играет модулярная функция. Эти результаты Э. Ландау и К. Каратеодори известны в виде следующей теоремы.

  Теорема Ландау - Каратеодори. Если функция

  

  регулярна и не принимает значений 0 и 1 в круге |z|

  …
  Далее

  - теоремы для регулярных в круге функций, устанавливающие нек-рые связи между геометрич. свойствами производимого этими функциями конформного отображения и начальными коэффициентами представляющих их степенных рядов.

  В 1904 Э. Ландау показал [1], что если функция f(z) регулярна в круге |z|<R и не принимает в нем значений 0 и 1, то Д ограничено сверху положительной постоянной, зависящей только от В 1905 К. Каратеодори (С. Caratheodory) установил, что роль экстремальной функции в этой теореме играет модулярная функция. Эти результаты Э. Ландау и К. Каратеодори известны в виде следующей теоремы.

  Теорема Ландау - Каратеодори. Если функция

  

  регулярна и не принимает значений 0 и 1 в круге |z|<Rто

  

  здесь t=t(l) - какая-либо ветвь функции, обратной к классич. модулярной функции группы M₂ дробно-линейных преобразований

  

  где a, d - нечетные, а b, с - четные числа. Функция l(t) отображает фундаментальную область Т ₂ группы М ₂:

  

  ( Т ₂ получается присоединением к Int T₂ той части границы этой области, для к-рой ), на всю расширенную l - плоскость таким образом, что

  При этом для каждого значения l уравнение имеет одно и только одно решение t, принадлежащее Т ₂. Под функцией t(l) в теореме Ландау - Каратеодори можно понимать ту ветвь указанной обратной функции, к-рая отображает расширенную l-плоскость на Т ₂.

  Пример функции регулярной в круге |z|<1 и не обращающейся в нуль и 1 при |z|<1 показывает, что теорема Ландау - Каратеодори неулучшаема. Из теоремы Ландау - Каратеодори вытекает Пикара теорема о значениях, не принимаемых целыми функциями.

  Э. Ландау нашел точное значение постоянной W(M), фигурирующей в следующей формулировке теоремы Коши об обратных функциях. Пусть функция w=f(z).регулярна в круге в круге тогда существует такая постоянная W(M), что обратная функция z=j(w), обращающаяся в нуль при w=0, регулярна в круге |w|<W(M) и j(w)<1 в этом круге. Э. Ландау установил, что

  

  Экстремальной функцией этой оценки является

  

  Та же функция f_M(^z) является экстремальной в следующей Л. т. Если функция f(z) удовлетворяет указанным выше условиям, то f(z) однолистна в круге|z|<r(M), где

  Э. Ландау принадлежит ряд теорем покрытия в теории конформного отображения, устанавливающих существование и оценки соответствующих постоянных. Ниже приведена одна из них. Пусть H - класс функций f(z), регулярных в круге и нормированных условиями Из теоремы Блоха (см. Блоха константа).вытекает следующая Л. т.: существует абсолютная постоянная

  

  где L_f - радиус наибольшего круга w-плоскости, целиком накрываемого образом круга |z|<1 при отображении w=f(z); П - константа Блоха. Постоянная Lназ. постоянной Ландау. Для Lизвестны оценки (см. [5], [8]): Из сформулированной Л. т. вновь следует теорема Пикара.

  Лит.:[1] Landau E., "Sitzungsber.

  …
  Перейти к полному виду статьи Свернуть