Раздел «Естествознание, Математика»

• Словарь естествознания
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Лапласа Оператор

  линейный дифференц. оператор, к-рый ф-ции ф(фи) (х, у, z) ставит в соответствие ф-цию

  

  Встречается во мн. задачах матем. физики (распространение света, тепла; движение идеальной несжимаемой жидкости). Ур-ние дельта ф(фи) = 0 наз. Лапласа уравнением.

• Математический словарь
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Лапласа Оператор

  лапласиан,- дифференциальный оператор определяемый формулой

  

  (здесь - координаты в ), а также некоторые его обобщения. Л. о. (1) является простейшим эллиптич. дифференциальным оператором 2-го порядка. Л. о. играет важную роль в математич. анализе, математич. физике и геометрии (см., напр., Лапласа уравнение, Лапласа - Бельтрами уравнение, Гармоническая функция, Гармоническая форма).

  Пусть Месть n-мерное риманово пространство с метрикой

  

  пусть - матрица, обратная к матрице Тогда Л. о. (или оператор Лапласа - Бельтрами) римановой метрики (2) на Мимеет вид

  

  где - локальные координаты на М. Оператор (1) отличается знаком от Л. о. стандартной евклидовой метрики

  Обобщением оп

  …
  Далее

  лапласиан,- дифференциальный оператор определяемый формулой

  

  (здесь - координаты в ), а также некоторые его обобщения. Л. о. (1) является простейшим эллиптич. дифференциальным оператором 2-го порядка. Л. о. играет важную роль в математич. анализе, математич. физике и геометрии (см., напр., Лапласа уравнение, Лапласа - Бельтрами уравнение, Гармоническая функция, Гармоническая форма).

  Пусть Месть n-мерное риманово пространство с метрикой

  

  пусть - матрица, обратная к матрице Тогда Л. о. (или оператор Лапласа - Бельтрами) римановой метрики (2) на Мимеет вид

  

  где - локальные координаты на М. Оператор (1) отличается знаком от Л. о. стандартной евклидовой метрики

  Обобщением оператора (3) является Л. о. на дифференциальных формах. Именно, в пространстве всех внешних дифференциальных форм на МЛ. о. имеет вид

  

  где d - оператор внешнего дифференцирования формы, d* - формально сопряженный к dоператор, определяемый с помощью следующего произведения на гладких финитных формах:

  

  где * - оператор Ходжа, порожденный метрикой (2) и переводящий р-формы в ( п-р )-формы. В формуле (5) формы a и b считаются действительными, на комплексных формах нужно использовать эрмитово продолжение скалярного произведения (5). Сужение оператора (4) на О-формы (т. е. функции) задается формулой (3). На р-формах при произвольном целом Л. о. в локальных координатах записывается в виде

  

  Здесь - ковариантные производные по

  - тензор кривизны, - тензор Риччи. Пусть дан произвольный эллиптич. комплекс

  

  где Е _р - действительные или комплексные расслоения на многообразии М, Г ( Е _р) - пространства их гладких сечений. Введя в каждом расслоении Е _р эрмитову метрику, а также задав произвольным образом элемент объема на М, можно определить эрмитово скалярное произведение в пространствах гладких финитных сечений расслоений Е _р. Тогда определены операторы d*, формально сопряженные к операторам d. По формуле (3) строится Л. о. на каждом пространстве Г( Е _р). Если в качестве комплекса (6) взять комплекс де Рама, то при естественном выборе метрики в р-формах и элемента объема, порожденных метрикой (2), получается в качестве Л. о. комплекса де Рама описанный выше Л. о. на формах.

  На комплексном многообразии Мнаряду с комплексом де Рама имеются эллиптич. комплексы

  

  где - пространство гладких форм типа ( р, q).на М. Вводя эрмитову структуру в касательном расслоении на М, можно построить Л. о. (4) комплекса де Рама и Л. о. комплексов (7), (8):

  

  Каждый из этих операторов переводит в себя пространство Если М - кэлерово многообразие, а эрмитова структура на Миндуцирована кэлеровой метрикой, то

  

  Важным фактом, определяющим роль Л. о. эллиптич. комплекса, является существование в случае компактного многообразия Мортогонального разложения Ходжа:

  

  В э

  …
  Перейти к полному виду статьи Свернуть