Раздел «Естествознание, Математика»

• Математический словарь
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Обобщенная Аналитическая Функция

  - функция удовлетворяющая системе

  

  с действительными коэффициентами являющимися функциями действительных переменных хи у В обозначениях

  

  исходная система записывается в виде

  

  Если коэффициенты Аи Всистемы (1) на всей плоскости Екомплексного переменного z принадлежат классу то в любой области Dэтой плоскости каждая О. а. ф. w(z), удовлетворяющая уравнению (1) представляется в виде

  (2) где

  

  а - вполне определенная аналитическая в области Dфункция переменного z.

  Связь между О. а. ф. и аналитич. циями, осуществляемая формулой (2), является нелинейной, еслк . По заданной аналитич. ции из нелинейноге интегрального уравнения (2) единственным образом определяется О. а. ф.

  Существует линей

  …
  Далее

  - функция удовлетворяющая системе

  

  с действительными коэффициентами являющимися функциями действительных переменных хи у В обозначениях

  

  исходная система записывается в виде

  

  Если коэффициенты Аи Всистемы (1) на всей плоскости Екомплексного переменного z принадлежат классу то в любой области Dэтой плоскости каждая О. а. ф. w(z), удовлетворяющая уравнению (1) представляется в виде

  (2) где

  

  а - вполне определенная аналитическая в области Dфункция переменного z.

  Связь между О. а. ф. и аналитич. циями, осуществляемая формулой (2), является нелинейной, еслк . По заданной аналитич. ции из нелинейноге интегрального уравнения (2) единственным образом определяется О. а. ф.

  Существует линейный оператор

  

  устанавливающий взаимно однозначное соответствие между множествами аналитических в ограниченной области Dи непрерывных в замкнутой области функций и обобщенных аналитических в Dфункций , причем и - вполне определенные функции, к-рые выражаются через коэффициенты Аи Всистемы (1).

  Из формулы (3) получаются различные интегральные представления О. а. ф., обобщающие интегральное представление Коши для аналитич. ций. Представление О. ф. в виде (3) оказалось полезным при исследовании краевых задач для О. а. ф.

  Если Аи В- аналитич. ции действительных переменных х, у, то для О. а. ф. в односвязной области имеет место представление

  

  в к-ром и - аналитич. ции своих аргументов, выражающиеся через Аи В, а - произвольная аналитич. ция переменного z. (Формула (4) не является частным случаем формулы (3).)

  В случае, когда Аи В- целые функции переменных хи у, представление (4) годится для любой односвязной области плоскости комплексного переменного 2.

  Проблема приведения общего эллиптич. уравнения 2-го порядка

  

  к виду

  

  эквивалентна задаче редукции к канонич. виду положительной квадратичной формы Последняя проблема, в свою очередь, сводится к отысканию гомеоморфизмов уравнения Бельтрами

  

  Если (5) - равномерно эллиптич. уравнение то

  При изучении уравнения Бельтрами основным вопросом является построение нек-рого его гомеоморфизма для данной области D. Это вытекает из следующего утверждения: если - гомеоморфизм уравнения Бельтрами, реализующий топологич. отображение области Dна область , то всякое другое его решение в Dимеет вид

  

  где Ф - произвольная аналитич. ция в области

  

  Когда измерима, вне Dи

  однолистным решением уравнения Бельтрами (6) является функция

  

  где удовлетворяет сингулярному интегральному уравнению (интеграл понимается в смысле главного значения по Коши)

  

  Это уравнение имеет единственное решение в нек-ром классе его можно получить, напр., методом последовательных приближений. Функция (8) принадлежит классу реализует топологич. отображение плоскости на себя, причем

  при . Если то

  Равномерно эллиптич. система двух уравнений 1-го

  …
  Перейти к полному виду статьи Свернуть