- математическое понятие, обобщающее классич. понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих технич., физич. и математич. задачах. Понятие О. ф. дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д. С другой стороны, в понятии О. ф. находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физич. величины в точке, а можно измерять лишь ее средние значения в достаточно малых окрестностях данной Toq-ки. Таким образом, техника О. ф. служит удобным и адекватным апп
…
Далее
- математическое понятие, обобщающее классич. понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих технич., физич. и математич. задачах. Понятие О. ф. дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д. С другой стороны, в понятии О. ф. находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физич. величины в точке, а можно измерять лишь ее средние значения в достаточно малых окрестностях данной Toq-ки. Таким образом, техника О. ф. служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физич. величин. Поэтому иначе О. ф. наз. распределениями (distributions).
О. ф. были введены впервые в кон. 20-х гг. 20 в. П. Дираком (P. Dirac, см. [1]) в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие б-функции и ее производных (см. Дельта-функция). Основы математич. теории О. ф. были заложены С. Л. Соболевым [2] в 1936 при решении задачи Коши для гиперболич. уравнений, а в 50-х гг. Л. Шварц (см. [3]) дал систематич. изложение теории О. ф. и указал многие применения. В дальнейшем теория О. ф. интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретич. и математич. физики и теории дифференциальных уравнений (см. [4] - [7]). Теория О. ф. далеко продвинута, имеет многочисленные применения и широко вошла в обиход математика, физика и инженера.
Формально О. ф. f определяется как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторным пространством достаточно "хороших" (основных) функций 
. Важным примером основного пространства является пространство D(О)- совокупность финитных 
(О)-функций в открытом множестве 
, снабженная топологией строгого индуктивного предела (объединения) пространств 
Пространство 
есть совокупность 
-функций с носителем в 
, снабженная топологией счетного числа норм
Примером основной функции из 
служит "шапочка":
Сопряженное к D(О)пространство есть пространство О. ф. D' (О);
Сходимость последовательности О. ф. из D' (О)определяется как слабая сходимость функционалов из 
, т. е. 
означает, что 
для всех 
.
Для того чтобы линейный функционал f на D(О)был О. ф. в О, т. е.
, необходимо и достаточно, чтобы для любого открытого множества 
существовали числа Ки т такие, что
Если в неравенстве (1) целое число тможно выбрать независящим от О', то О. ф. f имеет конечный порядок; наименьшее такое тназ. порядком f в О. Таким образом, в силу (1), всякая О. ф. f из D' (О)имеет конечный порядок в любом 
Пространство D' (О)- полное: если последовательность О. ф.
из D' (О)такова, что для любой функции 
числовая посл
…
Перейти к полному виду статьи
Свернуть
В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.