Раздел «Естествознание, Математика»

• Математический словарь
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Обобщенной Функции Производная

  - слабое расширение операции обычного дифференцирования. Пусть обобщенная функция. Обобщенная (слабая) производная

  

  порядка определяется равенством

  

  Так как операция линейна и непрерывна из D(О)в D(О), то функционал определяемый правой частью равенства (*), есть обобщенная функция из . Если при всех таких, что

  Имеют место следующие свойства О. ф. п.: операция линейна и непрерывна из D' (О)в D' (О);любая обобщенная функция из D' (О)бесконечно дифференцируема (в обобщенном смысле); дифференцирование He-зависит от порядка; справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения аf, где

  Пусть Может случиться, что нек-рая обобщенная производная может быть отождествлена с нек-

  …
  Далее

  - слабое расширение операции обычного дифференцирования. Пусть обобщенная функция. Обобщенная (слабая) производная

  

  порядка определяется равенством

  

  Так как операция линейна и непрерывна из D(О)в D(О), то функционал определяемый правой частью равенства (*), есть обобщенная функция из . Если при всех таких, что

  Имеют место следующие свойства О. ф. п.: операция линейна и непрерывна из D' (О)в D' (О);любая обобщенная функция из D' (О)бесконечно дифференцируема (в обобщенном смысле); дифференцирование He-зависит от порядка; справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения аf, где

  Пусть Может случиться, что нек-рая обобщенная производная может быть отождествлена с нек-рой (О)-функцией. В этом случае - обобщенная производная типа функции.

  Примеры. 1)где - функция Хевисайда и d - функция Дирака.

  2) Общее решение уравнения в классе есть произвольная постоянная.

  3) Тригонометрический ряд

  

  сходится в D' и его можно дифференцировать в D' почленно бесконечное число раз.

  Лит.:[1] Schwartz L., Theorie des distributions, v. 1, P., 1950; [2] Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосиб., 1962,

  В. С. Владимиров.

  
  Свернуть