Раздел «Естествознание, Математика»

• Математический словарь
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Объемный Потенциал

  - выражение вида

  

  где D- конечная область евклидова пространства ограниченная замкнутой поверхностью (при N - 2- кривой) Ляпунова - фундаментальное решение оператора Лапласа,

  

  - площадь единичной сферы в - расстояние между точками хи у, - элемент объема D.

  Если то О. п. определен для всех . При этом в дополнительной области CD функция и(х)имеет производные всех порядков и удовлетворяет Лапласа уравнению т. е. является гармонической функцией;при . эта функция регулярна на бесконечности, В области DО. п. и(х). принадлежит классу и удовлетворяет Пуассона уравнению.

  Эти свойства обобщаются в различных направлениях. Напр., если в Dсуществуют обобщенные производные 2-го порядка от и

  …
  Далее

  - выражение вида

  

  где D- конечная область евклидова пространства ограниченная замкнутой поверхностью (при N - 2- кривой) Ляпунова - фундаментальное решение оператора Лапласа,

  

  - площадь единичной сферы в - расстояние между точками хи у, - элемент объема D.

  Если то О. п. определен для всех . При этом в дополнительной области CD функция и(х)имеет производные всех порядков и удовлетворяет Лапласа уравнению т. е. является гармонической функцией;при . эта функция регулярна на бесконечности, В области DО. п. и(х). принадлежит классу и удовлетворяет Пуассона уравнению.

  Эти свойства обобщаются в различных направлениях. Напр., если в Dсуществуют обобщенные производные 2-го порядка от и(х)и почти всюду в Dудовлетворяется уравнение Пуассона Изучены также свойства О. п. произвольной меры Радона, сосредоточенной на N-мерной области D:

  

  Здесь также почти всюду в D. где - производная меры m по мере Лебега в . В определении (*) фундаментальное решение оператора Лапласа можно заменить на произвольную функцию Леви для общего эллиптич. оператора 2-го порядка Lс переменными коэффициентами класса ; при этом перечисленные выше свойства остаются в силе с заменой (см. [2]-[4]).

  О. п. применяется при решении краевых задач для эллиптич. уравнений с частными производными (см. При решении краевых задач для параболич. уравнений используется также понятие объемного теплового потенциала вида

  

  где - фундаментальное решение уравнения теплопроводности в :

  

  - плотность. Функция и ее обобщения на случай произвольного параболич. уравнения 2-го порядка имеют свойства, близкие к указанным выше для и(x)(см. [3] - [6]).

  Лит.:[1] Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953; [2] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [3] Тихонов А. Н., Самарский Л. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; [4] Смирнов В. И.. Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; [5] Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа, пер. с англ., М., 1968; [6] Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 196В.

  Е. Д. Соломецев.

  
  Свернуть