Раздел «Естествознание, Математика»

• Математический словарь
  В закладки

  

  В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

  Чаплыгина Метод

  - метод приближенного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, состоящий в одновременном построении двух семейств последовательных приближении к ее решению. Напр., в случае задачи Коши для одного уравнения 1-го порядка

  одно из указанных семейств приближает решение с недостатком, а другое - с избытком. В основе метода лежит Чаплыгина теорема о дифференциальных неравенствах. Пусть у(х)- решение задачи (1) и пусть кривые у=и (х)и y=v(x)целиком лежат в прямоугольнике R, проходят через точку (x₀, y₀) и при х>х₀ удовлетворяют неравенствам

  Тогда при х>х ₀ справедливы неравенства

  Функции и(х)и v(х), удовлетворяющие условиям теоремы Чаплыгина, д …
  Далее

  - метод приближенного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, состоящий в одновременном построении двух семейств последовательных приближении к ее решению. Напр., в случае задачи Коши для одного уравнения 1-го порядка

  одно из указанных семейств приближает решение с недостатком, а другое - с избытком. В основе метода лежит Чаплыгина теорема о дифференциальных неравенствах. Пусть у(х)- решение задачи (1) и пусть кривые у=и (х)и y=v(x)целиком лежат в прямоугольнике R, проходят через точку (x₀, y₀) и при х>х₀ удовлетворяют неравенствам

  Тогда при х>х ₀ справедливы неравенства

  Функции и(х)и v(х), удовлетворяющие условиям теоремы Чаплыгина, дают двустороннюю оценку для решения задачи (1). Если найдена пара начальных приближении u₀(x) u₀(x), удовлетворяющих условиям (2), то Ч. м. позво ляет построить пару u₁(x), v₁ (х)более точных приближений, удовлетворяющих условиям

  В случае когда сохраняет знак в области R, пара u₁(x), v₁ (х) может быть получена путем решения двух линейных дифференциальных уравнении с начальным условием y(x₀)=y₀. Если, напр., в R, то любая кривая, по к-рой плоскость х= сопstпересекает поверхность z=f(x, y), выпукла вниз, и каждая ее дуга лежит ниже хорды и выше касательной, проведенных из нек-рой ее точки. Если при нек-ром х=const уравнение касательной к кривой z=f(x, у )в точке y=u₀(x): где а уравнение хорды, проходящей через точки y=u₀(x) и y=v₀(x) той же кривой где то для этого значения химеет место неравенство

  Условия (4) выполняются равномерно но . в области R; решение у=и1(х)задачи Коши y'=k(x)y+p(x), у (х ₀)=y₀ и решение y=v₁ (х) задачи Коши у' = l (х) у+р (х), у (х ₀)=у₀ удовлетворяют условию (2). Можно показать, что они удовлетворяют и условию (3). Зная пару u₁(x), v₁ (х), можно тем же способом построить следующую пару u₂(x), v₂ (х)и т. д. Процесс очень быстро сходится: где константа сне зависит ни от х, ни от п. Второй способ построения уточненных приближений u _п (х), v_n(x)по известным u _п-1 (х), v_n-1(x)не требует сохранения знак а в R. В этом способе где k - Липшица константа функции f(x, у )в R. И в этом случае пары функций и _п (х), v_n(x)и u _п-1 (х), v_n-1(x)удовлетворяют условию (3) равномерно по х, но скорость сходимости тоньше, чем в формуле (5). Основная трудность в применении Ч. м. состоит в построении начальных приближений u₀ (х), v₀ (х). Метод предложен С. А. Чаплыгиным в 1919.

  Лит.:[1] Чаплыгин С. А., Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнении, М.-Д., 1950; [2] Лузин Н. Н., О методе приближенного интегрирования академика С. А. Чаплыгина, лТр. ЦАГИ
  Свернуть