функции- доопределение функции f₀, определенной на нек-ром подмножестве Екомплексного многообразия М, до функции f, голоморфной в нек-рой области , содержащей Е, такое, что сужение функции f на Есовпадает с . Отправным в теории А. п. является понятие (аналитического) элемента, т. е. пары , где - область на Ми f - голоморфная в Dфункция. Говорят, что элементы составляют непосредственное А. п. друг друга через связную компоненту множества если Элемент , по определению, аналитически продолжается в граничную точку если существует непосредственное_А. п. элемента через такое, что Максимальным (в М).А. п. наз. элемент (D,/), аналитически продолжающий в область но не продолжаемый аналитически ни в одну граничную точку D. Максимальное А. п. в Мединственно, но не всегда существует. Для устранения этого недостатка вводятся области наложения над М(римановы поверхности в случае ), к-рые строятся из элементов, аналитически продолжающих Элемент наз. А. п. элемента , если существует конечный набор элементов и связных компонент А,- соответственно в таких, что являются непосредственными А. п. друг друга через Д,-. Говорят, что голоморфная функция , определенная первоначально в области , аналитически продолжается в точку , если существует А. п. элемента такое, что . Среди элементов, продолжающих в точку z, вводится отношение эквивалентности: , если в окрестности z. На Множестве классов эквивалентности (для всех возможных z) естественно вводится топология и комплексная структура области наложения над М. Функция естественно поднимается в (значение на классе эквивалентности в z, содержащем , полагаем равным ), аналитически продолжается на всю D f и в определенном смысле не продолжается ни в одну граничную точку над .

В случае, когда есть комплексная плоскость или, более общо, комплексное пространство , , этот процесс А. п. описывается проще. Каноническим элементом наз. пара , где - степенной ряд с центром в точке ас непустой областью сходимости D_a. Канонич. элемент вдоль пути если существует семейство канонич. элементов , с центрами таких, что и для каждого элементы являются непосредственными А. п. для всех t, достаточно близких к . Семейство на самом деле определяется однозначно. Если , , есть непрерывное семейство путей в с общими концами аи b и если аналитически продолжается вдоль каждого , то результат не зависит от (монодромии теорема). Точками в случае являются канонич. элементы получаемые посредством А. п. вдоль всевозможных путей в ; поднимается в аналитически на всю до голоморфной функции , причем есть область голоморфности .