- категория с дополнительной структурой, позволяющей использовать внутренний Hom-функтор как сопряженный справа функтор к абстрактному тензорному произведению.

Категория наз. замкнутой, если в ней задан бифунктор (см. Функтор), выделен объект I, заданы естественные изоморфизмы и

выполнены следующие условия: 1) естественные изоморфизмы a, l, r, х когерентны; 2) каждый функтор

где - категория множеств, представим. Представляющие объекты обычно обозначаются и их можно рассматривать как значения на объектах бифунктора (внутренний Ногафунктор). Если бифунктор совпадает с произведением, а объект I является правым нулем (терминальным объектом) категории то наз. декартово замкнутой.

Декартово замкнутыми являются:" категории множеств, категория малых категорий, категория пучков множеств над топологич. пространством; замкнутыми - категория модулей над коммутативным кольцом с единицей, категория действительных (или комплексных) банаховых пространств и линейных отображений с нормой, не превосходящей единицы.

Лит.:[1] Бунге М., "Математика", 1972, т. 16, № 2, с. 11-46; [2] Toposes, Algebraic Geometry and Logic, В.- Hdlb.- N.Y. 1972; [3] Dubuс Е., Kan extensions in enriched category theory, В.- Hdlb.- N.Y., 1970.

M. Ш. Цаленко.