элементов, замкнутая система функций,- система элементов j_n некоторого линейного нормированного пространства Нтакая, что любой элемент можно сколь угодно точно приблизить в метрике пространства Нконечной линейной комбинацией элементов из этой системы, т. е. для всякого e>0 найдутся такие числа с ₀, с ₁ ..., с _п, что выполняется неравенство

Напр., система степеней { х ^п}, n=0, 1, 2, ..., замкнута в пространстве L_p[a, b, dm(x)]. функций, суммируемых в степени на конечном отрезке [ а, b]с интегральным весом m(x), причем неравенство (1) в этом случае имеет вид

где Q_n(x)- многочлен степени п. Обычно рассматривается случай, когда {j_n} - ортонормированная последовательность элементов в гильбертовом пространстве Н.*Тогда условие замкнутости (1) эквивалентно выполнению для всех элементов равенств

где { а _п }- коэффициенты Фурье элемента f по системе {j_n}. В случае тригонометрич. системы функций условие (3) наз. равенством Парсеваля; оно имеет вид

Это равенство рассматривали М. Парсеваль (М. Раrseval, 1806), Ш. Балле Пуссен (Ch. La Vallee Poussin, 1890), А. Гурвиц (A. Hurwitz, 1901-03); строгое его доказательство дал (в случае, когда f(x)ограничена) А. М. Ляпунов (1896).

Общий случай условия замкнутости (3) впервые подробно исследовал В. А. Стеклов (1898) в связи с решением нек-рых задач математич. физики. Введя термин "замкнутость", В. А. Стеклов рассмотрел с этой точки зрения различные конкретные системы ортогональных функций, и в частности фундаментальные решения уравнения Штурма - Лиувилля (см. Штурма- Лиувилля задача). Поэтому равенство (3) часто наз. условием замкнутости Парсеваля - Стеклова.

Понятие замкнутости широко применяется в теории ортогональных многочленов. Если отрезок ортогональности конечен, то система ортогональных многочленов замкнута при любом весе. В случае бесконечного интервала ортогональности В. А. Стеклов установил ряд условий на весовую функцию, достаточных для замкнутости соответствующей системы ортогональных многочленов: в частности, он доказал замкнутость систем многочленов Эрмита и Лагерра. Одно из достаточных условий Стеклова в случав интервала заключается в том, что существует такая последовательность положительных чисел {а _п), для к-рой выполняются соотношения

где h(x)- дифференциальный вес на интервале (т. е. dm(x) = h(x)dx). Для всего интервала достаточное условие состоит в том, чтобы дифференциальный вес h(х)был почти всюду положителен п удовлетворял неравенству

Это условие в нек-ром смысле близко к необходимому, ибо, как показал еще В. А. Стеклов, система многочленов незамкнута в случае весовой функции вида

Полное решение вопроса об условиях замкнутости системы многочленов в пространстве L₂[a, b, dm(x)]в случае бесконечного интервала дал М. Рис (М. Riesz, 1922). Он доказал, что для замкнутости системы многочленов в L₂ [a, b, dm(x)]необходимо и достаточно, чтобы либо соответствующая моментов проблема была определенной, либо в случае неопределенности функция m(х)была так наз. N-экстремальным решением проблемы моментов.

С понятием замкнутости тесно связано понятие полноты системы функций, к-рое заключается в том, что из равенства нулю линейного ограниченного функционала f на всех элементах системы {j _п} следует условие f=0. В гильбертовом пространстве эти два понятия эквивалентны. Полнота системы {j _п (х)} в пространстве L_p эквивалентна замкнутости этой же системы в L_q, где

В комплексной области подробно изучены аналоги неравенств типа (1) или (2) для систем многочленов и более общих систем функций (см. Ортогональные многочлены в комплексной области).

Лит.:[1]Качмаж С, Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. снем.,М., 1958; [2] Геронимус Я. <л., теория="" ортогональных="" многочленов.="" обзор="" достижений="" отечественной="" математики,="" м.-="" л.,="" 1950;="" [3]="" сегё="" г.,="" ортогональные="" многочлены,="" пер.="" с="" англ.,="" м.,="" 1962;="" [4]="" стеклов="" в.="" а.,="" "зап="" акад.="" наук"="" (физ.-матем.="" сер.),="" 1911,="" т.="" 30,="" №="" 4,="" с="" 1-86;="" 1914,="" т.="" 33,="" №="" 8,="" с.="" 1-59;="" [5]="" его="" же,="" основные="" задачи="" математической="" физики,="" ч.="" 1-2,="" п.,="" 1922-23;="" [6]="" riеsz="" м.,="" в="" кн.:="" acta="" litterarumac="" scientiarum="" regial="" universitatis="" hungaricae.="" sec.="" scient.="" mathemat.,="" 1922-1923,="" kot.="" 1,="" old.="" .209-25;="" [7]="" hewitt="" e.,"amer.="" math.="" monthly",="" 1954,="" v.="" 61,="" p.="" 249="" -="">

П. К. Суетин.