в частично упорядоченном множестве М- однозначное отображение множества Мв себя, сопоставляющее каждому элементу некоторый элемент наз. замыканием элемента а, и удовлетворяющее следующим аксиомам: 1) 2) если то 3)Элемент аназ. замкнутым, если он совпадает со своим замыканием. З. о, в множестве Моднозначно определяется заданием системы всех замкнутых элементов. З. о. может быть введено, в частности, в системе всех подмножеств произвольного множества М, частично упорядоченной по теоретико-множественному включению. В этом случае также принято говорить, что 3. о. задано в самом множестве М. Во всяком множестве Мможно задать З. <о., беря="" в="" качестве="" системы="" замкнутых="" подмножеств="" любую="" систему="" подмножеств,="" содержащую="" как="" само=""> М, так и пересечение любой своей подсистемы. Два частично упорядоченных множества с 3. о. наз. изоморфными, если существует такой изоморфизм этих частично упорядоченных множеств, при к-ром образы и прообразы замкнутых элементов замкнуты. Важную роль в математике играют 3. о. на множестве всех подмножеств М, обладающие следующим дополнительным свойством: замыкание объединения двух подмножеств множества Мравно объединению замыканий этих подмножеств. Такое 3. о. наз. топологией в множестве М.

Лит.:[1] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [2] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, М., 1962.

О. А. Иванова,