- одна из основных задач классич. вариационного исчисления. Состоит в минимизации функционала

при наличии дифференциальных ограничений типа равенств:

и граничных условий:

Обычно Л. з. рассматривается при условии, что имеет место регулярность системы (1), состоящая в том, что матрица имеет максимальный ранг:

При этом условии систему (1) можно разрешить относительно части переменных и, используя иные обозначения (t, х вместо х, у), привести Л. з. к виду

Функцию Fи отображение Ф предполагают обычно непрерывно дифференцируемыми. Задачи оптимального управления задаются обычно в форме (2) (разрешенная, или понтрягинская, форма), и при этом накладываются еще ограничения на управление Необходимые условия сильного экстремума для задачи (2) (для простоты - с закрепленным левым x₀ и свободным правым концом x₁) имеют следующий вид. Пусть

- Лагранжа функция. Для того чтобы вектор-функция доставляла сильный минимум в Л. з. (2), необходимо, чтобы были выполнены соотношения:

при всевозможных допустимых значениях х, u. Если провести дифференцирование в (3) по tи воспользоваться обозначением

то необходимое условие сильного минимума сформулируется в форме принципа максимума, в к-ром соединены Эйлера уравнение(3), трансверсальности условие(4) и Вейерштрасса условие(5). Для того чтобы вектор-функция доставляла сильный минимум в задаче (2) с закрепленным левым и свободным правым концами, необходимо, чтобы нашлось решение системы

Ж. Лагранж (J. Lagrange) рассматривал подобные задачи в связи с исследованиями по механике (2-я пол. 18 в .).

Лит. см. при статье Вариационное исчисление. И. Б. Вапнярский, В. М. Тихомиров.