асимптотических оценок - метод вычисления асимптотики при l>0, интегралов Лапласа

где W=[a, b] - конечный отрезок, S - действительная, f - комплексная функции, достаточно гладкие при Асимптотика F(l) равна сумме вкладов от точек, в к-рых достигается если число их конечно.

1) Если максимум достигается при х=а и то вклад от точки ав асимптотику интеграла (1) равен

2) Если максимум достигается во внутренней точке х ⁰ отрезка то вклад от нее равен

Эта формула получена П. Лапласом [1]. Полностью исследован случай, когда функции f(x), S' (х).имеют нули конечной кратности в точках максимума функции S, и получены асимптотич. разложения (см. [2] - [8]). Л. м. распространяется и на случай контура W, расположенного на комплексной плоскости (см. Перевала метод).

Пусть W - ограниченная область в наибольшее значение функции S(x).в замыкании W достигается только во внутренней точке х ⁰, и х ⁰ - невырожденная стационарная точка функции S. Тогда

В этом случае также получены асимптотич. разложения для F(l). Все приведенные выше формулы справедливы при комплексных Имеются также модификации Л. м. на случай более сложной зависимости от параметра (см. [4], [8]):

Лит.:[1] Laplace P. S., Essai philosophique sur les probabilites, CEuvres completes, t. 7, P., 1886 (в рус. пер.- Опыт философии теории вероятностей, М., 1908); [2] Эрдейи А., Асимптотические разложения, пер. с англ., М., 1962; [3] Б р ё й н Н. Г., Асимптотические методы в анализе, пер. с англ., М., 1961; [4] Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 2 изд., М., 1962; [5] Копсон Э.-Т., Асимптотические разложения, пер. с англ., М., 1966; [6] О 1 v е r P. W. J., Asymptotics and special functions, N. Y.- [а. о.], 1974; [7] Риекстыньш Э. Я., Асимптотические разложения интегралов, т. 1, Рига, 1974; [8] Федорюк М. В., Метод перевала, М., 1977. М. В. Федорюк.