над топологическим пространством (клеточным разбиением) X- пространство (клеточное разбиение)

где - единичный отрезок, а косая черта обозначает операцию отождествления подпространства с одной точкой. Надстройкой над пунктированным пространством(X, х ₀ )наз. пунктированное пространство

Оно наз. также приведенной, или стянутой, надстройкой. Н. обозначается символом (а иногда ). Соответствие определяет функтор из категории топологических (пунктированных) пространств в себя.

Функториальность Н. позволяет определить гомоморфизм к-рый также наз. надстройкой. Этот гомоморфизм совпадает с композицией гомоморфизма, индуцированного вложением и изоморфизма Гуревича (здесь - операция взятия петель пространства). Для любой гомологии теории (когомологий ) имеет место изоморфизм

совпадающий со связывающим гомоморфизмом точной последовательности пары , где - конус над X. Образ класса при этом изоморфизме наз. надстройкой над хи обозначается (или ).

Надстройкой над когомологической операцией аназ. когомологич. операция, действие к-рой на совпадает с