- один из методов ошибок теории для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Н. к. м. применяется также для приближенного представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений. Н. к. м. предложен К. Гауссом (С. Gauss, 1794-95) и А. Лежандром (A. Legendre, 1805-06). Строгое обоснование и установление границ содержательной применимости Н. к. м. даны А. А. Марковым и А. Н. Колмогоровым. В простейшем случае линейных связей (см. ниже) и наблюдений, не содержащих систематич. ошибок, а подверженных лишь случайным ошибкам, оценки неизвестных величин, полученные с помощью Н. к. м., являются линейными функциями от наблюденных значений. Эти оценки не имеют систематич. ошибок, т. е. являются несмещенными (см. Несмещенная оценка). Если случайные ошибки наблюдений независимы и подчиняются нормальному распределению, то Н. к. м. дает оценки неизвестных с наименьшей дисперсией, т. е. эти оценки являются эффективными (см. Статистическое оценивание). В этом смысле Н. к. м. является наилучшим среди всех остальных методов, позволяющих находить несмещенные оценки. Однако если распределение случайных ошибок существенно отличается от нормального, то Н. к. м. может и не быть наилучшим.

При обосновании Н. к. м. (по Гауссу) предполагается, что "убыток" от замены точного (неизвестного) значения нек-рой величины ее приближенным значением X, вычисленным по результатам наблюдений, пропорционален квадрату ошибки оптимальной оценкой считается такая лишенная систематич. ошибки величина X, для к-рой среднее значение "убытка" минимально. Именно это требование и составляет основу Н. к. м. В общем случае отыскание оптимальной в смысле Н. к. м. оценки X - задача весьма сложная, поэтому практически эту задачу сужают и в качестве Xвыбирают линейную функцию от результатов наблюдений, лишенную систематич. ошибки, и такую, для к-рой среднее значение убытка минимально в классе всех линейных функций. Если случайные ошибки наблюдений подчиняются нормальному распределению и оцениваемая величина mзависит от средних значений результатов наблюдений линейно (случай, весьма часто встречающийся в приложениях Н. к. м.), то решение этой задачи будет одновременно являться и решением общей задачи. При этом оптимальная оценка Xтакже подчиняется нормальному распределению со средним значением и, следовательно, плотность вероятности случайной величины X

достигает максимума в точке (это свойство и выражает точное содержание распространенного в теории ошибок утверждения: "оценка X, вычисленная согласно Н. к. м.,- наиболее вероятное значение неизвестного параметра ").

Случай одного неизвестного. Пусть для оценки значения неизвестной величины произведено пнезависимых наблюдений, давших результаты - случайные ошибки (по определению, принятому в классич. теории ошибок, случайные ошибки - независимые случайные величины с нулевым математич. ожиданием:; если же наз. систематическими ошибками). Согласно Н. к. м. в качестве оценки величины m. принимают такое X, для к-рого будет наименьшей сумма квадратов (отсюда и само название метода):

где

(коэффициент k>0 можно выбирать произвольно). Величину наз. весом, а -квадратичным отклонением измерения с номером . В частности, если все измерения равноточны, то и в этом случае можно положить если же каждое - арифметич. среднее из равноточных измерений, то полагают

Сумма будет наименьшей, если в качестве Xвыбрать взвешенное среднее:

Оценка величины лишена систематич. ошибки, имеет вес Ри дисперсию . В частности, если все измерения равноточны, то Y - арифметич. среднее результатов измерений:

При нек-рых общих предположениях можно показать, что если количество наблюдений пдостаточно велико, то распределение оценки У мало отличается от нормального с математич. ожиданием m и дисперсией .В этом случае абсолютная погрешность приближенного равенства меньше с вероятностью, близкой к значению интеграла

(напр., ).

Если веса измерений заданы, а множитель кдо наблюдений остается неопределенным, то этот множитель и дисперсия оценки могут быть оценены по формулам:

и

(обе оценки лишены систематич. ошибок).

В том практически важном случае, когда ошибки подчиняются нормальному распределению, можно найти точное значение вероятности, с к-рой абсолютная погрешность приближенного равенства окажется меньше (t- произвольное положительное число):

где постоянная выбрана таким образом, чтобы выполнялось условие ( Стьюдента распре деление с п-1 степенями свободы). При больших пформулу (2) можно заменить формулой (1). Однако применение формулы (1) при небольших ппривело бы к грубым ошибкам. Так, напр., согласно (1) значению I= 0,99 соответствует t=2,58; истинные значения t, определяемые при малых пкак решения соответствующих уравнений приведены в таблице:

Пример. Для определения массы нек-рого тела произведено 10 независимых равноточных взвешиваний, давших результаты Y_i (в г):

(здесь n_i - число случаев, в к-рых наблюдалась масса ). Так как все взвешивания равноточные, то следует положить и в качестве оценки для неизвестного веса выбрать величину . Задавая, напр.,по таблицам распределения Стьюдента с девятью степенями свободы можно найти, что и поэтому в качестве предельной абсолютной погрешности приближенного равенства следует принять величину

Таким образом,

Случай нескольких неизвестных (линейные связи). Пусть презультатов измерений связаны с тнеизвестными величинами независимыми линейными соотношениями

где - известные коэффициенты, а - независимые случайные ошибки измерений.

Требуется оценить неизвестные величины (эту задачу можно рассматривать как обобщение предыдущей, в к-рой

Так как то средние значения результатов измерений связаны с неизвестными величинами линейными уравнениями (линейные связи):

Следовательно, искомые величины представляют собой решение системы (4), уравнения к-рой предполагаются совместными. Точные значения измеряемых величин и случайные ошибки обычно неизвестны, поэтому вместо систем (3) и (4) принято записывать так наз. условные уравнения

Согласно Н. к. м. в качестве оценок для неизвестных применяют такие величины , для к-рых сумма квадратов отклонений

будет наименьшей (как и в предыдущем случае,- вес измерения,- величина, обратно пропорциональная дисперсии случайной ошибки ). Условные уравнения, как правило, несовместны, т. с. при любых значениях разности

не могут, вообще говоря, все обратиться в нуль. Н. к. м. предписывает в качестве оценок выбрать такие значения , к-рые минимизируют сумму S. В тех исключительных случаях, когда условные уравнения совместны и, значит, обладают решением, это решение совпадает с оценками, полученными согласно Н. к. м.

Сумма квадратов Sпредставляет собой квадратичный многочлен относительно переменных ; этот многочлен достигает минимума при таких значениях при к-рых обращаются в нуль все первые частные производные:

Отсюда следует, что оценки , полученные согласно Н. к. м., должны удовлетворять системе т. н. нормальных уравнений, к-рая в обозначениях, предложенных К. Гауссом, имеет вид

где

и

Оценки, получающиеся в результате решения системы нормальных уравнений, лишены систематич. ошибок

дисперсии величин равны

где d- определитель системы (5), а - минор, соответствующий диагональному элементу (иными словами,- вес оценки ). Если множитель пропорциональности (кназ. дисперсией на единицу веса) заранее неизвестен, то для его оценки, а также для оценки дисперсии служат формулы

(S- минимальное значение исходной суммы квадратов). При нек-рых общих предположениях можно показать, что если количество наблюдений пдостаточно велико, то абсолютная погрешность приближенного равенства меньше с вероятностью, близкой к значению интеграла (1). Если случайные ошибки наблюдений подчиняются нормальному распределению, то все отношения распределены по закону Стьюдента с п-то степенями свободы (точная оценка абсолютной погрешности приближенного равенства производится здесь с помощью интеграла (2) так же, как в случае одного неизвестного). Кроме того, минимальное значение суммы Sв вероятностном смысле не зависит от и потому приближенные значения дисперсий оценок не зависят от самих оценок

Один из наиболее типичных случаев применения Н. к. м.- "выравнивание" таких результатов наблюдений , для к-рых в уравнениях (3) где - известные функции нек-рого параметра t(если t- время, то - те моменты времени, в к-рые производились наблюдения). Особенно часто встречается в приложениях случай т. н. параболической интерполяции, когда - многочлены (напр., ); если а наблюдения равноточные, то для вычисления оценок можно воспользоваться таблицами ортогональных многочленов. Другой важный для приложений случай - т. н. гармоническая интерполяция, когда в качестве выбирают три-гонометрич. функции (напр., ).

Пример. Для оценки точности одного из методов химич. анализа этим методом определялась концентрация СаО в десяти эталонных пробах заранее известного состава. Результаты наблюдений указаны в таблице (г - номер эксперимента, t;- истинная концентрация СаО,- концентрация СаО, определенная в результате химич. анализа, - ошибка химич. анализа):

Если результаты химич. анализа не имеют систематич. ошибок, то Если же такие ошибки имеются, то в первом приближении их можно представить в виде:(наз. постоянной ошибкой, а - методической ошибкой) или, что то же самое,