один из методов математич. анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных операторов, псевдодифференциалъных операторов и нек-рых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраич. задач. Развитие и систематич. применение О. и. началось с работ О. Хевисайда (О. Heaviside, 1892), к-рый предложил формальные правила обращения с оператором дифференцирования и решил ряд прикладных задач. Однако О. и. не получило у него математич. обоснования: оно было дано с помощью Лапласа преобразования;Я. Микусиньский (J. Mikusinski, 1953) алгебраизировал О. и., опираясь на понятие функционального кольца; наиболее общая концепция О. и. получается с помощью обобщенных функций.

Простейший вариант О. и. строится следующим образом. Пусть К - совокупность функций (с действительными или комплексными значениями), заданных в области и абсолютно интегрируемых в любом конечном интервале. Сверткой функций наз. интеграл

Относительно обычного сложения и операции свертки Кстановится кольцом без делителей нуля (теорема Титчмарша, 1924). Элементы поля частных Рэтого кольца наз. операторами и обозначаются ; невыполнимость деления в Ккак раз и есть источник нового понятия оператора, обобщающего понятие функции. Для выявления необходимого в О. и. различия между понятиями функции и ее значения в точке введены следующие обозначения:

{f(t)} - функция f(t).

f(t) - значение t (t).в точке t.

Примеры операторов. 1) е={1} -оператор интегрирования:

при этом

и, в частности,

это - формула Коши, обобщение к-рой на случай произвольного (нецелого) показателя служит для определения дробного интегрирования.

2). (где a - функция-константа) -числовой оператор; поскольку [а] [b] = [a, b], [a] {f}={af}, в то время как {a}{b}={abt}, то числовые операторы ведут себя как обычные числа. Таким образом, оператор является обобщением не только функции, но и числа; единицей кольца Кявляется [ 1 ].

3) - оператор дифференцирования, обратный оператору интегрирования. Так, если функция a(t)--{a(t)}имеет производную a'(t), то

и

отсюда, напр.,

На оператор дифференцирования s можно умножать не только дифференцируемые функции, однако результат есть уже, вообще говоря, оператор.

4) - алгебраическая производная, она распространяется на произвольные операторы обычным способом, при этом оказывается, что действие этого оператора на функции от sсовпадают с дифференцированием по s.

О. и. дает удобные способы решения линейных дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и с частными

производными. Напр., решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям х(0).g₀, . . .,

автоматически приводится к алгебраич. уравнению и символически выражается формулой

решение в обычном виде получается разложением на элементарные дроби от переменной s с последующим обратным переходом по соответствующим таблицам к функциям.

Для применения О. и. к уравнениям с частными производными (а также к более общим псевдодифференциальным уравнениям) строятся дифференциальное и интегральное исчисления операторных функций, т. е. функций, значениями к-рых являются операторы: вводятся понятия непрерывности, производной, сходимости ряда, интеграла и т. <>

Пусть f(l, t) - нек-рая функция, определенная для и .Параметрическая операторная функция f(l) определяется формулой f(l)={f(l, t)};она ставит в соответствие рассматриваемым значениям l операторы частного вида - функции от t. Операторная функция наз. непрерывной при , если она представима как произведение нек-рого оператора qи такой параметрич. функции f₁(l)={f₁(l, t)}, что f₁(l, t).непрерывна в обычном смысле.

Примеры. 1) С помощью параметрич. функции h(l)={h(l,t)}:

определяется функция Хевисайда

значения гиперболической показательной функции

наз. операторами сдвига, поскольку умножение данной функции на вызывает смещение ее графика на длину l в положительном направлении оси t.

2) Решение уравнения теплопроводности

выражается через параболическую показательную функцию (являющуюся также параметрической операторной функцией):

3) Периодич. функция f(t).с периодом 2l₀ имеет представление

4) Если f(l) принимает числовые значения в интервале [l₁, l₂], то

т. е. умножение данной функции {/} на с последующим интегрированием вызывает усечение ее графика. В частности,