линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка класса Фукса, имеющее ровно три особые точки:

здесь а, b, с - попарно различные комплексные числа, a, a' (b, b' и g, g') - характеристич. показатели в особой точке z=а (соответственно z=bи z=с). П. у. однозначно определяется заданием особых точек и характеристич. показателей. Для решений П. у. (1) используется обозначение Римана:

Б. Риман исследовал [1] задачу: найти все многозначные аналитические в расширенной комплексной плоскости функции w(z).со следующими свойствами:

1) функция w(z).имеет ровно три особые точки а, b, с;

2) любые три ее ветви связаны линейным соотношением

с постоянными коэффициентами; 3) функция w(z).имеет простейшие особенности в точках a, b, с, а именно: в окрестности точки z=а существуют две ее ветви такие, что

где j_j(z), j=1, 2,- голоморфные в точке z=a функции; и аналогично для точек b, с.

Б. Риман при нек-рых дополнительных предположениях относительно чисел a, a', . . ., g' показал, что все такие функции выражаются через гипергеометрич. функции и что w(z).удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению 2-го порядка с рациональными коэффициентами, но явно его не выписал (см. [1]). Это уравнение (уравнение (1)) было приведено Э. Папперицем [2]. Оно паз. также Р-уравнением Римана, уравнением Римана в форме Папперица, уравнением Римана, а его решения наз. Р-функциями. Основные свойства решений П. у.

1) П. у. инвариантно относительно дробно-линейных преобразований: если z₁=(Az+B)/(Cz+D).отображает точки а, Ь, с в точки a₁, b_l, c₁, то

2) Преобразование

переводит П. у. в П. у. с теми же особыми точками, но с другими характеристич. показателями:

3) Гипергеометрическое уравнение

есть частный случай П. у. и ему соответствует обозначение Римана

4) Всякое решение П. у. выражается через гипергеометрич. функции:

(2)

в предположении, что a-a' не есть целое отрицательное число. Если все разности a-a',b-b', g-g'- нецелые числа, то, переставляя в (2) местами a и a' или g и g', получают четыре решения П. у. Кроме того, П. у. не меняется, если переставлять местами тройки (a, a', а),(b, b', b), (g, g', с); все эти перестановки приводят к 24 частным решениям П. у. (1), к-рые впервые были получены Э. Куммером [5].

Лит.:[1] Риман Б., Соч., пер. с нем., М.- Л., 1948, о. 159-75; [2] РаррeritzE.,"Math. Ann.", 1885, Bd 25, S. 212- 21; [3] Уиттекер Э. Т., Ватсон Д ж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1962-63; [4] Голубев Б. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1950; [5] Кummеr Е., "J. reine und angew. Math.", 1836, Bd 15, S. 39-83, 127-72.

M. В. Федорюк.