- метод вычисления корней многочлена

с комплексными коэффициентами, основанный на интерполяции многочленами 2-й степени. П. м. позволяет найти все корни многочлена без предварительной информации о начальном приближении. Сходимость П. м. установлена лишь эмпирически. Вблизи простого корня скорость сходимости близка к квадратичной.

Вычислительная схема П. м. состоит в следующем. По произвольным комплексным числам z₀, z₁,z₂ как узлам интерполяции строится интерполяционный многочлен Лагранжа для P_n(z). Это будет нек-рый многочлен 2-й степени. Находятся оба его корня и за z₃ берется ближайший к z₂. После этого вместо точек z₀, z₁, z₂ берутся точки z₁, z₂, z₃ и процесс повторяется. Эмпирически установлено, что последовательность z₀, z₁, z₂, z₃,. . ., построенная таким образом, сходится к корню многочлена. Вычисленный корень выделяется, и далее метод применяется к многочлену меньшей степени.

Расчетные формулы П. м.: если z_i-2, z_i-1, z_i - исходная тройка чисел i-гo шага, то в обозначениях

интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид

Корни L⁽ⁱ⁾(l).находятся по формуле

где

Из двух возможных значений Кберется наименьший по модулю и далее вычисляется

При реализации описанного процесса на ЭВМ возможно переполнение сверху и снизу при вычислении значения многочлена в точке. Появление больших чисел возможно также при вычислении корней многочлена 2-й степени. Существует ряд приемов, имеющих целью избежать это явление (см. [1], [3]).

Лит.:[1] Воеводин В. В., Численные методы алгебры, М., 1966; [2] Уилкинсон Д ж. X., Алгебраическая проблема собственных значений, пер. с англ., М., 1970; [3] Бахвалов Н. С., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1971, т. 11, № 6, с. 1568-74. Г. Д. Ким.