колец и алгебр - понятие, впервые возникшее в классической структурной теории конечномерных алгебр в нач. 20 в. Под Р. первоначально понимался наибольший нильпотентный идеал конечномерной ассоциативной алгебры. Алгебры с нулевым Р. (называемые полупростыми) получили в классич. теории достаточно полное описание: любая полупростая конечномерная ассоциативная алгебра является прямой суммой простых матричных алгебр над подходящими телами. Впоследствии было обнаружено, что наибольшие нильпотентные идеалы существуют в любых ассоциативных кольцах и алгебрах с условием минимальности для левых (или правых) идеалов, т. е. в любых артиновых кольцах и алгебрах, и описание артиновых полупростых колец и алгебр совпадает с описанием конечномерных полупростых алгебр. В то же время оказалось, что Р., как наибольший нильпотентный либо разрешимый идеал, может быть определен и во многих классах конечномерных неассоциативных алгебр (альтернативных, йордановых, лиевых и др.). При этом, как и в ассоциативном случае, полупростые алгебры оказываются прямыми суммами простых алгебр нек-рого специального вида.

В связи с тем, что в бесконечномерном случае наибольшего нильпотентного идеала может и не существовать, появилось много различных обобщений классического Р.: радикал Бэра, радикал Джекобсона, радикал Левицкого, радикал Кёте и др. Наиболее часто используемый из них - Джекобсона радикал. Были введены также Р., в нек-ром смысле противоположные классическому. Так, напр., все классически полупростые кольца (т. е. прямые суммы полных матричных колец) радикальны в смысле регулярного радикала Неймана и наследственно идемпотентного радикала Блэра. Построение общей теории Р. было начато в работах С. Амицура [1] и А. Г. Куроша [2].

Общая теория радикалов. Всюду в дальнейшем говорится только об алгебрах (имеются в виду алгебры над произвольным фиксированным ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей); кольца являются частным случаем таких алгебр. Под идеалом алгебры, если это не оговорено специально, понимается двусторонний идеал.

Пусть - нек-рый класс алгебр, замкнутый относительно взятия идеалов и гомоморфных образов, т. е. содержащий вместе со всякой алгеброй любой ее идеал и любой ее гомоморфный образ. И пусть r - нек-рое абстрактное свойство, к-рым может обладать или не обладать алгебра из . Алгебра, обладающая свойством r, наз. r-а л г е б р о й. Идеал I алгебры A наз. ее r-и д е а л о м, если I является r-алгеброй. Алгебра наз. r-полупростой, если она не имеет ненулевых r-идеалов. Говорят, что r является радикальным свойством в классе или что в задан радикал (в смысле Куроша), если выполняются следующие условия:

(A) гомоморфный образ r-алгебры есть r-алгебра;

(Б) каждая алгебра Акласса обладает наибольшим r-идеалом, т. е. идеалом, содержащим любой r-идеал этой алгебры, и этот максимальный r-идеал наз. тогда r-радикалом этой алгебры и обозначается r(А).

(B) факторалгебра А/r (А) r -полупроста.

Алгебра, совпадающая со своим Р., наз. радикальной. В любом классе алгебр и для любого радикала {0} является единственной одновременно радикальной и полупростой алгеброй. Подпрямое произведение любого множества полупростых алгебр само полупросто.

С каждым радикалом r связаны два подкласса алгебр в : класс (r) всех r-радикальных алгебр и класс (r) всех r-полупростых алгебр. По любому из этих классов однозначно находится радикал r(А).для каждой алгебры Аиз , а именно:

Алгебра r-радикальна тогда и только тогда, когда она не может быть отображена гомоморфно ни на одну ненулевую r-полупростую алгебру.

Известны условия на подклассы алгебр, необходимые и достаточные для того, чтобы эти подклассы служили классами всех радикальных или классами всех полупростых алгебр для каких-либо Р. в . Такие подклассы алгебр принято называть соответственно радикальными и полупростыми подклассами.

Частичная упорядоченность радикальных классов по включению индуцирует частичный порядок на классе всех Р. в . А именно, считается, что , если (r₁) содержит (r₂) (и в этом случае также (r₁) содержит (r₂)).

Для каждого подкласса Мкласса нижним радикальным классом l(M), порожденным классом М, наз. наименьший радикальный класс, содержащий М, а соответствующий ему Р. наз. нижним радикалом, определяемым классом М. Верхним радикальным классом и(М), определенным классом М, наз. наибольший радикальный класс, относительно Р. к-рого все алгебры из Мполупросты (этот Р. наз. верхним радикалом, определяемым классом М). Для любого класса Мнижний радикальный класс l(М).существует. Если - класс ассоциативных алгебр, то верхний Р. для любого подкласса М. <также всегда="" существует.="" в="" неассоциативном="" случае="" верхний="" р.="" может="" не="" существовать.="" известны="" достаточные="" условия="" на="" класс=""> М, при к-рых верхний радикал для Мсуществует. Этим условиям, в частности, удовлетворяет всякий класс, содержащий только простые алгебры.

Для любого Р. всякая простая алгебра либо радикальна, либо полупроста. Таким образом, каждому радикалу r соответствует разбиение простых алгебр на два непересекающихся класса: S₁ - класс r-полупростых простых алгебр, или верхний класс, и S_2. класс всех r-радикальных простых алгебр, или нижний класс. Принято говорить, что радикал r соответствует этому разбиению. Обратно, для произвольного разбиения простых алгебр на два непересекающихся класса, один из к-рых S₁ назван верхним, а другой S₂ - нижним, существует радикал, соответствующий данному разбиению. Такими будут верхний радикал r_l определяемый классом S₁. а также нижний радикал r₂, определяемый классом S₂; радикалы r₁ и r₂ наз. соответственно верхним и нижним радикалами данного разбиения простых алгебр. Для любого радикала r, соответствующего тому же разбиению простых алгебр, В классе всех ассоциативных алгебр для любого разбиения простых алгебр r₁>r₂. Классический Р. в классе конечномерных ассоциативных алгебр над полем соответствует тому разбиению простых алгебр, нижний класс которого пуст, причем является единственным нетривиальным Р., соответствующим этому разбиению .

Наследственные радикалы. Радикал r наз. идеальо наследственным радикалом, или кручением, в классе , если для всякого идеала I алгебры Аэтого класса: Идеально наследственные Р. есть в точности те Р., для к-рых классы (r). и (r) замкнуты относительно идеалов. Радикал rназ. наследственным, если класс (r) замкнут относительно идеалов. В классах ассоциативных, а также альтернативных алгебр каждый наследственный Р. является кручением. Радикал r наз. строго наследственным, если класс (r) замкнут относительно подалгебр.

Класс всех кручений является полной дистрибутивной "решеткой" (см. Дистрибутивная решетка). Употребление кавычек здесь связано с тем, что совокупность элементов этой "решетки" является не множеством, а классом.

В классе всех кручений выделены два противоположных подкласса: класс н а д н и л ь п о т е н т н ы х к р у ч е н и й, т. е. таких кручений r, что все алгебры с нулевым умножением r-радикальны, и класс подидемпотентных кручений - таких кручений r, что все алгебры с нулевым умножением r-полупросты (а все r-радикальные алгебры идемгготентны). Важным частным случаем наднильпотентных Р. являются специальные радикалы- такие кручения r, что все r-полупростые алгебры разлагаются в подпрямое произведение первичных r-полупростых алгебр. Существуют наднильпотентные неспециальные Р. (см. [5], [7]).

Радикалы в классе ассоциативных колец. Пусть - класс всех ассоциативных колец. И пусть: j - нижний Р., определяемый классом всех простых колец с нулевым умножением;

(нижний радикал Бэра) - нижний Р., определяемый классом всех нильпотентных колец; верхний Р., определяемый классом всех первичных колец; наименьший специальный Р.; равен пересечению простых идеалов кольца;

(радикал Левицкого) - нижний Р., определяемый классом всех локально нильпотентных колец; равен сумме всех локально нильпотентных идеалов кольца и содержит любой односторонний локально нильпотентный идеал кольца;

(верхний нильрадикал, или радикал Кёте) - нижний Р., определяемый классом всех нильколец;