- раздел теории чисел, в к-ром изучаются закономерности распределения простых чисел (п. ч.) среди натуральных чисел. Центральной является проблема наилучшего асимптотич. выражения при функции p(х), обозначающей число п. ч., не превосходящих х, а также функции p(х; d, l), обозначающей число п. ч., не превосходящих хв арифметич. прогрессии dn+l при , для растущих вместе с хзначений d.

О с н о в н а я т е о р е м а а р и ф м е т и к и: каждое натуральное число n>1 является или п. ч. или единственным (с точностью до перестановки сомножителей) произведением п. ч.

(т. н. к а н о н и ч е с к о е п р е д с т а в л е н и е числа п), где - различные п. ч., n₁, ...... , - натуральные числа. Таким образом, п. ч. есть базис мультипликативного построения ряда натуральных чисел, это, однако, непосредственно ничего не говорит о величине p(х).

Для нахождения п. ч. от 1 до хслужит известный с 3 в. до н. э. метод Эратосфена решета. Решето Эратосфена является простейшей процедурой получения последовательности п. ч. Однако аналитич. ормула решета

где dпробегает делители произведения всех п. ч. , - число простых делителей - целая часть и, непригодна для изучения p (х).при

Рассмотрение последовательности п. ч. от 1 до х:2,3, 5, 7, 11, 14, ..., р(1)

показывает, что с увеличением x она становится в среднем все более редкой. Существуют сколь угодно длинные отрезки ряда натуральных чисел, среди к-рых нет ни одного п. ч. Напр., п-1 натуральных чисел вида п!+2, ... , п!+п для любого являются составными числами. В то же время в (1) встречаются п. ч. такие, как 8004119 и 8004121, разность между к-рыми равна 2 (п. ч.- близнецы). Проблема поведения p(x) при является одной из наиболее трудных и интересных проблем теории чисел.

Первый результат о величине p(х).-т е о р е м а Е в к л и д а: при . Л. Эйлер (L. Еu1ег, 1737, 1749, см. [1]) ввел функцию

(2) и показал, что при

(3)

где ряд распространяется на все натуральные числа, а произведение на все п. ч. Тождество (3) и его обобщения играют фундаментальную роль в теории Р. п. ч. Исходя из него, Л. Эйлер доказал, что ряд и произведение по простым ррасходятся. Это - новое доказательство бесконечности числа п. ч. Более того, Л. Эйлер установил, что п. ч. "много", ибо

и, в то же время, почти все натуральные числа являются составными, т. к.

Далее значительного успеха достиг П. Л. Чебышев (1851-52, см. [2]). Он доказал, что:

1) для любых т>0, М>0 есть последовательности , для к-рых

2) если существует предел частного при , то он равен 1. Тем самым впервые был решен вопрос о существовании простой функции

к-рая служит наилучшим приближением для p(х). Затем П. Л. Чебышев установил истинный порядок роста p(х), т. е. существование постоянных а>0, А>0 таких, что

(4)

причем, а=0,92... , А=1,05... для . Он же доказал, что при любом в интервале ( п, 2п).содержится по крайней мере одно п. ч. (п о с т у л а т Б е р т р а н а). В основе вывода неравенств (4) лежит т о ж д е с т в о Ч е б ы ш е в а

(5)

в к-ром введенная П. Л. Чебышевым функция y определяется суммой по степеням р ^т, m=1, 2, ... , п. ч. р:

Именно, комбинация для в форме

вследствие (5), дает тождество

из к-рого следует, что

Отсюда, вследствие асимптотич. формулы Стирлинга для n, вытекает аналог неравенств (4) для y(x), из к-рых частичным суммированием получаются неравенства (4). Функция Чебышева y (х)оказалась более удобной, чем p(х), при изучении Р. п. ч., поскольку наилучшим приближением ее является сам аргумент х. По-этому обычно сначала рассматривают y (х), а затем частичным суммированием получают соответствующий результат для p(х).

Принцип Римана. В 1859-60 Б. Риман (В. Riemann, см. [3]) рассмотрел введенную Л. Эйлером для s>l функцию как функцию комплексного переменного , где s, t - действительные переменные, определяемую рядом (2) при s>1 (см. Дзета-функция), и обнаружил исключительную важность этой функции для теории Р. п. ч. В частности, он указал выражение разности p(х)- li хчерез хи нули функции , лежащие в полосе , к-рые наз. н е т р и в и а л ьн ы м и н у л я м и ф у н к ц и и z,(s).

Вместо формулы Римана обычно используется более простой конечный ее аналог для y(x), доказанный (наряду с формулой Римана) X. Мангольдтом (Н. Маngoldt, 1895). Именно, для x>1

(6)

где r=b+ig пробегает нетривиальные нули , Т - любое

Поскольку

формула (6) показывает, что величина разности y(x)-x в главном определяется величиной b (действительной частью самых правых нулей r). В частности, если правее вертикали s=q, , для функций y(x), p(x) справедливы следующие асимптотич. выражения:

Наоборот, из этих соотношений следует, что для . Если справедлива гипотеза Римана, т. <е. все="" нетривиальные="" нули=""> лежат на одной прямой , тогда асимптотич. закон распределения п. ч. должен иметь вид

Причем эти соотношения существенно усилить нельзя, т. е. существуют последовательности такие, что

Таким образом, согласно принципу Римана проблема асимптотич. выражения функции Р. п. ч. y(x), p(х). сводится к проблеме границы действительной части нетривиальных нулей функции . До сих пор (1983), однако, не удалось найти какое-либо постоянное q, , с условием . Искомая граница для b оказывается связанной с мнимой частью g нулей r, причем так, что прямая s=1 является для нее асимптотой.

Методы Адамара и Валле Пуссена. Асимптотич. закон Р. п. ч. в простейшем виде

был получен в 1896 независимо Ж. Адамаром (J. Hadamard) и Ш. Bалле Пуссеном (Ch. La Vallee Poussin), к-рые доказали, что , т. е. что на прямой s=-1 нет нулей функции . В 1899 Ш. Bалле Пуссен показал, что (s+it)№0 в области Тем самым было доказано, что

при постоянных a>0, b>0.

Были получены также дальнейшие расширения области свободной от нулей функции z(s) (см. [4] - [12]).

Метод Вейля - Литлвуда. Существует определенная связь между ростом модуля функции z(s) и ее нулями вблизи прямой s=1. Именно, если при , где j (t),1/q (t) - положительные неубывающие функции такие, что при

, то существует постоянная Атакая, что z(s)№0 в области

При этом для оценки z(s) используется частная сумма ее ряда (2), к-рая сводит вопрос к оценке тригонометрич. сумм вида

За счет оценок таких сумм по Вейля методу Дж. Литлвуд (J. Littlewood, 1921) показал, что для при и, следовательно, z(s)№0 в области

Отсюда

Метод Виноградова. Дальнейший прогресс в оценках p(x), y(x). связан с созданием И. М. Виноградовым (см. Виноградова метод).нового, значительно более мощного метода оценок тригонометрич. сумм. При помощи этого метода им в 1938 было доказано, что z(s)№0. при и соответственно что

В 1858 И. М. Виноградов и другие (см. [6] -[11]) показали, что z(s)№0 при

Это пока (1983) лучший результат о границе нетривиальных нулей функции z(s), к-рому отвечает лучший результат в Р. п. ч.:

Из асимптотики p(х)следует асимптотика n-го простого числа . Показано (см. [21] ) также, что р _n> >n log nдля всех и что для

для

Элементарные методы. Так называют методы изучения асимптотич. закона Р. п. ч., не опирающиеся на принцип Римана (нули дзета-функции) и, вообще, на какие бы то ни было положения теории функций комплексного переменного. Впервые такой метод открыли в 1948 А. Сельберг [16] и П. Эрдёш [17]. В основе лежит элементарная ф о р м у л а С е л ь б е р г а

(7)

Дальнейшая задача состоит в том, чтобы из асимптотики в среднем для в виде (7) вывести асимптотику Это можно сделать по-разному, но общим во всех случаях является использованием факта медленного колебания функции (см. [18]). В 1962 Э. Бомбьери (Е. Воmbieri) и Э. Вирзинг (Е. Wirsing) доказали, что при любом фиксированном А>0

В 1970 X. Дайамонд и Дж. Стейниг (см. [19]) существенно усовершенствовали идею и технику оценок элементарного метода и доказали, что для

Наконец, в 1973 А. Ф. Лаврик и А. Ш. Собиров [20] показали, что при элементарном методе доказательства справедлива теорема: для

Этот результат представляет пока лучшее достижение элементарного метода в изучении Р. п. ч., хотя он несколько слабее того, к-рый получен аналитич. методом, в принципе эти результаты близки между собой.

Разность между простыми числами. Существует много вопросов Р. п. ч., касающихся разности между п. ч. Среди них выделяются вопросы поведения - разности между соседними п. ч.; проблема количества п. ч. близнецов, или, более общо, пар п. ч. разности 2k и, вообще, числа систем р, p+u_l ... , р+и _т из m+1 п. ч., лежащих на отрезке [1, х].

Спомощью гипотезы Римана доказано, что , а нек-рые эвристич. рассуждения показывают, что, вероятно, справедлива оценка

Лучшей к 1983 является оценка , где , e>0, полученная М. Н. Хаксли (М. N. Huxley, 1973) по методу большого решета. Что касается пар п. ч. разности, равной 2 (близнецов), или разности, равной 2k, k=1,2, ... , то до сих пор (1983) неизвестно, является количество их бесконечным или нет. Пусть есть число пар п. ч., не превосходящих х, разности 2k. В1919 В. Брун (V. Вrun) нашел метод решета (см. Вруна решето), к-рый позволил получить ожидаемую оценку сверху для :

Кроме этого, за счет оценок И. М. Виноградова тригонометрич. сумм с п. ч. (см. Виноградова метод).доказано круговым методом (см. [13]), что если положить

то при любых фиксированных А>1, М>0

Отсюда, в частности, следует, что при Х = хlog ^{- A}x. для всех , исключая не более из них, имеет асимптотич. выражение в виде

Аналогичные результаты получены для систем п. ч.

при любом