Поиск по словарю Математический словарь

  • В закладки
    В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

    Рисса Теорема

    - 1) Р. т. о представлении субгармонической функции: если и(х) - субгармонич. функция в области Dевклидова пространства , то существует единственная положительная борелевская мера m на Dтакая, что для любого относительно компактного множества справедливо п р е д с т а в л е н и е Р и с с а функции и(х)в виде суммы потенциала и гармонич. функции h(x):

    (4)

    где

    - расстояние между точками

    (см. [1]). Мера m наз. а с с о ц и и р о в а н н о й мерой для функции и(х)или м е р о й Р и с с а.

    Если есть замыкание области H, причем существует обобщенная функция Грина g(x, у; Н), то формулу (1) можно записать в виде

    (2)

    где h* (х) - наименьшая гармонич. мажоранта и(х)в области Н.

    Формулы (1), (2) можно распространить при нек-рых дополнительных условиях на всю область D(см. Субгармоническая функция, а также [3], [5]).

    2) Р. <т. о="" с="" р="" е="" д="" н="" е="" м="" з="" н="" а="" ч="" е="" н="" и="" и="" субгармонической="" функции:="" если=""> -- субгармонич. функция в кольцевой области , то ее среднее значение но площади сферы S п (х 0,r) с центром х 0 и радиусом , равно

    где sn(r) - площадь Sn(x0,r), и является выпуклой функцией относительно 1/rn-2 при и относительно Inr при n=2. Если же и(х) - субгармонич. функция во всем шаре , то J(r), кроме того,- неубывающая непрерывная функция относительно r при условии, что J(0) = u(x0 )(см. [1]).

    3) Р. <т. об="" а="" н="" а="" л="" и="" т="" и="" ч="" е="" с="" к="" и="" х="" ф="" у="" н="" к="" ц="" и="" я="" х="" к="" л="" а="" с="" с="" о="" в="" х="" а="" р="" д="" и="" н="">d,d > 0: если f(z) - регулярная аналитич, функция в единичном круге класса Харди Н d,d > 0 (см. Граничные свойства аналитических функций), то для нее имеют место соотношения

    где Е - любое множество положительной меры на окружности , f(eiq) - граничные значения f(z) на Г. Кроме того, тогда и только тогда, когда ее первообразная непрерывна в замкнутом круге и абсолютно непрерывна на Г (см. [2]). Теоремы 1) - 3) доказаны Ф. Риссом (см. [1], [2]).

    Лит.:[1] R i e s z F., "Acta math.", 1926, v. 48, p. 329 - 43;1930, v. 54, p. 321-60; [2] e г о ж е, "Math. Z.", 1923, Bd 18. S. 87-95; [3] П р и в а л о в И. И., Субгармонические функции, М.-Л., 1937; [4] е г о ж е, Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.-Л., 1950; [5] Х е й м а н У. К., К е н н е д и П. Б., Субгармонические функции, пер. с англ., т. 1, М., 1980. Е. Д. Соломенцев.