- элемент Уайтхеда группы построенный по комплексу А-модулей. В частности, получается У. к. отображения комплексов. Пусть А - кольцо, F- конечнопорожденный А-модуль. Пусть b=(b_l, . . ., b_k) и c=(c₁, . . ., c_k)- два его базиса, и Тогда матрицa невырождена и, следовательно, определяет элeмент группы обозначаемый [ с/b]. Если [ с/b]=0, то базисы bи сназ. эквивалентными. Очевидно, Для произвольной точной последовательности свободных А-модулей и базисов ки gв Еи . определен базис eg=(e, f )в F, причем образом элементов f является базис g. Класс эквивалентности этого базиса зависит только от базисов е и g. Пусть теперь - комплекс из свободных A-модулей С _i с отмеченными базисами е _i, гомологии этого комплекса свободны и в них также выбраны базисы h_i. Пусть образы гомоморфизмов также свободны. Комбинации базисов задают новые базисы в С _i. Тогда кручение комплекса . определяется формулой

При этом кручение не зависит от базисов b_i в группах границ, а только от с _i и h_i. Пусть дана пара (K, L), состоящая из конечного связного клеточного разбиения Ки подкомплекса L, являющегося деформационным ретрактом К. Пусть Если и - универсальные накрывающие разбиений Ки L, то определяет клеточное отображение а следовательно, и отображение групп цепей т. е. является -модулем. Получается свободный цепной комплекс над Гомологии этого комплекса тривиальны, т. е. - деформационный рет-ракт Пусть суть р-клетки в Для каждой клетки e_i выбирается клетка-представитель в лежащая над е _i, и фиксируется ее ориентация. Тогда - базис в Следовательно, определено подмножество т. к. кручение, вообще говоря, зависит от выбора Оазиса с _р. Однако уже образ этого множества в группе Уайтхеда Wh (П) состоит из одного элемента и наз. кручением Уайтхеда пары ( К, L). Важным свойством У. к. является его комбинаторная инвариантность. Является ли топологич. инвариантом, неизвестно (1984). Пусть - гомотопич. эквивалентность (Xи Y- клеточные комплексы). Тогда кручение отображения / определяется как где М _f - цилиндр отображения f. Если то f наз. простой гомотопической эквивалентностью. Свойства кручения 1) если - включение, то 2) 3) если f гомотопно f', то если f - тождественное отображение односвязного комплекса с эйлеровой характеристикой то

Лит.:[1] Whitehead J. H. C., лAmer. J. Math.