Поиск по словарю Математический словарь

  • В закладки
    В закладки будет добавлено толкование к данному слову в данном словаре. Закладки сохраняются на Вашем компьютере в cookie. Если Ваш браузер не поддерживает cookie или такая возможность отключена, то сохранение закладок будет не возможно.

    Эйлера - Маклорена Формула

    формула суммирования, связывающая частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена:

    где - Бернулли числа, Rn - остаточный член. С помощью Бернулли многочленов Bn(t), В n(0)=В п остаточный член записывается в виде:

    Для n=2sостаточный член R2s может быть представлен с использованием чисел Бернулли:

    Если производные и имеют одинаковые знаки и не меняют знака на [ р, т],то

    Если, кроме того,

    то Э.-М. ф. может быть записана в виде:

    В такой форме Э. - М. ф. применяется, напр., при выводе Стирлинга формулы. В этом случае и с - Эйлера постоянная. Имеются обобщения Э. - М. ф. на случай кратных сумм. Э.-М. ф. применяется для приближенного вычисления определенных интегралов, для исследования сходимости рядов, для вычисления сумм и для разложения функций в ряд Тейлора. Напр., при т=1, р=0, п=2т+1, Э.-М. ф. дает следующее выражение:

    Э.-М. ф. играет важную роль при изучении асимптотич. разложений, в теоретико-числовых оценках, в конечных разностей исчислении. Э.-М. ф. иногда применяется в виде:

    Э.-М. ф. была впервые приведена Л. Эйлером [1] в виде: где S - сумма первых членов ряда с общим членом t(п), S=t=0 при n=0, а коэффициенты определяются рекуррентными соотношениями:

    Независимо формула была открыта позднее К. Маклореном [2].

    Лит.:[1] Еnlеr L., лComment Acad. sci. Imp. Petrop.